
4-36 Calculus – Differentiation and Integration
=
+ −
=
+ −
=
→
sin( ) sin
sin( ) sin
lim
si
y y y
x
y y y
y
y
x
y
d
d
d
d
d
d
d 0
nn( ) sin
lim
lim
cos sin
y y y
y
y
x
y y
y
y
+ −
=
+
→
→
d
d
d
d
d
d
d
0
0
2
1
2
1
22
1
2
0
d
d
d
d
y
y
dy
dx
y y
y
= +
→
lim cos
=
→
sin
( / )
lim c
1
2
2
0
d
d
d
y
y
dy
dx
y
oos lim
sin
( / )
y y
y
y
y
+
→
1
2
1
2
2
0
d
d
d
d
= ⋅
[ ]
dy
dx
y
dy
dx
cos 1
∴ = =
−
=
−
dy
dx y
y
x
1 1
1
1
1
2
2
cos
sin
.
Similarly, we can prove that
dy
dx
x
= −
−
1
1
2
for y = cos
-1
x.
2. Find
dy
dx
for the equation y = tan
-1
x.
Given y x
y x
=
⇒ =
−
−
tan
tan tan(tan )
1
1
⇒ =
(1)