
4-46 Calculus – Differentiation and Integration
Solution:
a. f
x
y
=
−
tan
1
∂
∂
=
+
=
+
∂
∂ ∂
=
∂
∂
∂
∂
f
x
x
y
y
y
y x
f
y x y
f
x
1
1
1
2
2
2 2
2
==
∂
∂
+
=
+
( )
⋅ −
( )
+
( )
y
y
y x
x y y y
x y
2 2
2 2
2 2
2
1 2
=
−
( )
+
( )
x y
x y
2 2
2 2
2
. (1)
∂
∂
=
+
−
=
−
+
∂
∂ ∂
=
∂
∂
∂
∂
f
y
x
y
x
y
x
x y
f
x y x
f
y
1
1
2
2
2 2 2
2
=
∂
∂
−
+
=
− +
( )
⋅ −
( )
+
x
x
x y
x y x x
x y
2 2
2 2
2
1 2
22
2
( )
= −
−
( )
+
( )
=
−
+
( )
y x
x y
x y
x y
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2
. (2)
From Eqs. (1) and (2), we get
∂
∂ ∂
=
∂
∂ ∂
2 2
f
x y
f
y x
.
b.
f
x y
xy
=
+
log
2 2
f can be expressed as log log log .x y x y
2 2
+
− −