
Differential Operators 10-21
Proof:
Let f f i f j f k= + +
1 2 3
, then
curl f
f
y
f
z
i
f
z
f
x
j=
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
3
2 1
3
ff
x
f
y
k
f i
x
f
y
f
z
2 1
3
2
∂
−
∂
∂
= ×
∂
∂
∑
∂
∂
−
∂
∂
.
( )curl curl
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
i
f
z
f
x
j
f
x
f
y
1
3
2 1
=
∑
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
∂
k
i
y
f
x
f
y z
f
2 1 1
∂∂
−
∂
∂
=
∑
∂
∂ ∂
−
∂
∂
−
∂
z
f
x
i
f
y x
f
y
f
3
2
2
2
1
2
2
11
2
2
3
2
3
∂
+
∂
∂ ∂
=
∑
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
z
f
z x
i
x
f
y
f
z
−−
∂
∂
+
∂
∂
=
∑
∂
∂
∂
2
1
2
2
1
2
1
f
y
f
z
i
x
f
∂∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
x
f
y
f
z
f
x
f
y
f
z
2
3
2
1
2
2
1
2
2
1
2
=
∑
∂
∂
∇⋅
( )
−∇
=
i
x
f f
i
2
1
∑
∂
∂
∇⋅
( )
− ∇
∑
= ∇ ∇⋅
(