
Integration 11-41
Relation Between Beta and Gamma Functions
For x > 0 and y > 0, we have
B x y
x y
x y
( , )
( ) ( )
( )
.=
+
Γ Γ
Γ
(11.18)
Proof: We have
Γ Γ( ) ( )x y e u du e v dv
u x v y
=
∫
∫
− −
∞
− −
∞
2 2
2 2
2 1
0
2 1
0
=
∫∫
− − − +
∞∞
4
2 1 2 1
00
2 2
u v e du dv
x y u v( )
.
Now transforming to polar coordinates with u = r cos q, v = r sin q, we obtain
Γ Γ( ) ( ) ( cos ) ( sin )
/
(
x y e r r rdrd
e r
r x y
r
=
∫∫
=
− − −
∞
−
4
2
2
2
2 1 2 1
0
2
0
2
θ θ θ
π
xx y x y
dr d
+ −
∞
− −
∫
∫
)
/
(cos ) (sin )
1
0
2 1 2 1
0
2
2 θ θ θ
π
= +Γ( ) ( , ).x y B x y
∴ =
+
B x y
x y
x y
( , )
( ) ( )
( )
.
Γ Γ
Γ
Properties of Gamma Function
We have already seen the factorial representation ...