Ereignisdiskrete Systeme, 3rd Edition

Überführung der impliziten in die explizite Modellform. Für das Beispiel erhielt man durch zweimaliges Einsetzen der impliziten Modellform in sich selbst das explizite Modell (8.11). Es stellt sich die Frage, ob man für beliebige Synchronisationsgraphen die explizite Modellform auf diese Weise erhalten kann. Dies wird im Folgenden untersucht.

Das erste Einsetzen der impliziten Modellgleichung in sich selbst ergibt

$\begin{array}{l}x\left(k+1\right)=A_{0}x\left(k\right)+A_{1}x\left(k+1\right)\\ =A_{0}x\left(k\right)+A_1\left(A_{0}x\left(k\right)+A_{1}x\left(k+1\right)\right)\\ =\left(I+A_1\right)A_{0}x\left(k\right)+A_1^{2}x\left(k+1\right).\end{array}$

k-maliges Einsetzen führt auf

$x\left(k+1\right)=\left(I+A_1+\dots +A_1^k\right)A_{0}x\left(k\right)+A_1^{k+1}x\left(k+1\right).$

Der Term mit x(k+1) verschwindet auf der rechten Seite, wenn k genügend ...