
38 FIRST-ORDER EQUATIONS WITH TWO INDEPENDENT VARIABLES
10.
∂w
∂x
+
[λ + a sin
2
(λx)]y
2
+ λ − a + a sin
2
(λx)
∂w
∂y
= 0.
Principal integral:
Ξ =
E
y + cot(λx)
+
Z
λ + a sin
2
(λx)
E dx, E =
1
sin
2
(λx)
exp
a
2λ
cos(2λx)
.
11.
∂w
∂x
−
(k + 1)x
k
y
2
− ax
k+1
(sin x)
m
y + a( sin x)
m
∂w
∂y
= 0.
Principal integral:
Ξ =
E
x
k+1
(x
k+1
y − 1)
− (k + 1)
Z
E dx
x
k+2
, E = exp
a
Z
x
k+1
(sin x)
m
dx
.
12.
∂w
∂x
+
a sin
k
(λx + µ)(y − bx
n
− c)
2
+ y − bx
n
+ bnx
n−1
− c
∂w
∂y
= 0.
Principal integral: Ξ =
e
x
y − bx
n
− c
+ a
Z
e
x
sin
k
(λx + µ) dx.
13. x
∂w
∂x
+
a sin
m
(λx)y
2
+ ky + ab
2
x
2k
sin
m
(λx)
∂w
∂y
= 0.
Principal integral: Ξ = arctan
y
bx
k
− ab
Z
x
k−1
sin
m
(λx) dx.
14.
a sin(λx) + b
∂w
∂x
+
y
2
+ c sin(µx)y − k
2
+ ck sin(µx)
∂w
∂y
= 0