
26.4. Infinite Functional Series 1431
24.
∞
X
k=1
1
k
sin(kx + a) =
1
2
(π − x) cos a − ln
2 sin
x
2
sin a, 0 < x < 2π.
25.
∞
X
k=1
(−1)
k−1
k
sin(kx + a) =
1
2
x cos a + ln
2 cos
x
2
sin a, −π < x < π.
26.
∞
X
k=1
sin[(2k − 1)x]
2k − 1
=
π
4
, 0 < x < π.
27.
∞
X
k=1
(−1)
k−1
sin[(2k −1)x]
2k − 1
=
1
2
ln tan
x
2
+
π
4
, −
π
2
< x <
π
2
.
28.
∞
X
k=1
a
2k− 1
sin[(2k − 1)x]
2k − 1
=
1
2
arctan
2a sin x
1 −a
2
, 0 < x < 2π, |a| ≤ 1.
29.
∞
X
k=1
(−1)
k−1
a
2k− 1
sin[(2k − 1)x]
2k − 1
=
1
4
ln
1 + 2a sin x + a
2
1 −2a sin x + a
2
, 0 < x < π, |a| ≤ 1.
30.
∞
X
k=1
(−1)
k
sin[(k + 1)x]
k(k + 1)
= sin x −
1
2
x(1 + cos x) − sin x ln
2 cos
x
2
.
31.
∞
X
k=0
a
2k+ 1
sin[(2k + 1)x] =
a(1 + a
2
) sin x
(1 + a
2
)
2
− 4a
2
cos
2
x
, |a| < 1, x is any number.
32.
∞
X
k=0
(−1)