
27.2. Definite Integrals 1455
21.
Z
∞
0
x
µ−1
dx
(1 + ax
p
)
ν
=
1
pa
µ/p
B
µ
p
, ν −
µ
p
, p > 0, 0 < µ < pν.
22.
Z
∞
0
p
x
2
+ a
2
− x
n
dx =
na
n+1
n
2
− 1
, n = 2, 3, . . .
23.
Z
∞
0
dx
x +
√
x
2
+ a
2
n
=
n
a
n−1
(n
2
− 1)
, n = 2, 3, . . .
24.
Z
∞
0
x
m
p
x
2
+ a
2
−x
n
dx =
m! na
n+m+1
(n − m − 1)(n −m + 1) . . . (n + m + 1)
,
n, m = 1, 2, . . . , 0 ≤ m ≤ n − 2.
25.
Z
∞
0
x
m
dx
x +
√
x
2
+ a
2
n
=
m! n
(n − m − 1)(n −m + 1) . . . (n + m + 1)a
n−m−1
,
n = 2, 3, . . .
27.2.2 In tegrals Involving Exponential Functions
1.
Z
∞
0
e
−ax
dx =
1
a
, a > 0.
2.
Z
1
0
x
n
e
−ax
dx =
n!
a
n+1
− e
−a
n
X
k=0
n!
k!
1
a
n−k+1
, a > 0, n = 1, 2, . . .
3.
Z
∞
0
x
n
e
−ax
dx =
n!
a
n+1
, a > 0, n = 1, 2, . . .
4.
Z
∞
0
e
−ax
√
x
dx =
r
π
a
, a > 0.
5.
Z
∞
0
x
ν−1
e
−µx
dx =
Γ(ν)
µ
ν
, µ, ν > 0.
6.
Z
∞
0
dx
1 + e
ax
=
ln ...