
13.8 計算線性耦合系統的狀態
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13.8 計算線性耦合系統的狀態
問題點
你想計算耦合系統的特徵態,其中耦合系統由相同彈簧與物體連接而成,而特徵態為此
系統的共振態。以下解答將討論
n
個物體以
n-1
個彈簧串接的系統,並放置於無摩擦力
的表面上。圖 13-2 顯示
n=3
的例子。[Page-530]
圖 13-2 耦合系統
解決方案
耦合系統可用
n
組線性方程式描述,其矩陣表述為對角矩陣(此處不詳加證明,有興趣
請自行參考後文的「延伸資訊」),除對角線及其相鄰矩陣元之外,矩陣的其餘元素皆為
0。對此耦合系統而言,左上與右下的元素較特殊,因為它們代表著系統的兩側物體,
兩側物體僅有一端連接彈簧,其矩陣元為
k - m*ω^2
,其中
k
為彈簧常數、
m
為物體質
量、
ω
為角頻率。其餘的對角矩陣元為
2*k - m*ω^2
,而相鄰對角元素均為
-k
,以下將
以三個物體為例,「討論說明」部分將介紹如何推廣至多物體的情況。
由於此系統有非零解,故此矩陣為不可逆,即行列式為零,以下使用
Solve
指令找出以
k
表示的共振頻率。
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