Microsoft Excel: Formeln & Funktionen - Das Maxibuch, 2., aktualisierte und erweiterte Auflage

Kapitel 11 Statistische Funktionen

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Um für Frage 2 eine Antwort zu erhalten, musste sowohl das Argument Untergrenze als auch

das Argument Obergrenze angegeben werden. Das heißt, es wurde die Wahrscheinlichkeit für

einen Wert x innerhalb eines Intervalls, in unserem Beispiel das Intervall zwischen 60 und 70

kg, berechnet.

Siehe auch BINOM.VERT(), BINOM.INV()

CD-ROM Dieses Beispiel finden Sie auf der CD-ROM zum Buch im Ordner \Buch\Kap11 in den Arbeitsmappen

Wahrscheinlichkeit.xls (Excel 97-2003) bzw. Wahrscheinlichkeit.xlsx (Excel 2007/2010) auf dem Arbeits-

blatt Wahrschbereich.

WEIBULL.VERT() / WEIBULL()

WEIBULL.DIST() / WEIBULL()

Syntax WEIBULL.VERT(x;Alpha;Beta;kumuliert)

Definition Die Funktion WEIBULL.VERT() gibt Wahrscheinlichkeiten einer weibullverteilten Zufalls-

variablen zurück. Diese Verteilung können Sie bei Zuverlässigkeitsanalysen verwenden, also

beispielsweise dazu, die mittlere Lebensdauer eines Geräts zu berechnen.

Argumente x (erforderlich) ist der Wert, für den die Funktion ausgewertet werden soll.

Alpha (erforderlich) ist ein Parameter der Verteilung.

Beta (erforderlich) ist ein Parameter der Verteilung.

kumuliert (erforderlich) ist der Wahrheitswert, der den Typ der Funktion bestimmt. Ist

kumuliert mit WAHR belegt, gibt WEIBULL.VERT() den Wert der Verteilungsfunktion

zurück, also die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl zufällig auftretender Ereignisse zwi-

schen 0 und einschließlich x liegt. Ist kumuliert mit FALSCH belegt, gibt WEIBULL.VERT()

den Wert der Dichtefunktion zurück.

Hinweis Ist eines der Argumente x, Alpha oder Beta, kein numerischer Ausdruck, gibt WEIBULL.VERT() den

Fehlerwert #WERT! zurück.

Ist x kleiner 0, gibt WEIBULL.VERT() den Fehlerwert #ZAHL! zurück.

Ist Alpha kleiner oder gleich 0 oder ist Beta kleiner oder gleich 0, gibt WEIBULL.VERT() den Fehlerwert

#ZAHL! zurück.

Hintergrund

Wie viele andere in diesem Buch bereits erwähnte Verteilungen gehört auch die Weibull-Ver-

teilung zu den statistischen Verteilungen, die beispielsweise zur Untersuchung der Lebens-

dauer im Bereich der Qualitätssicherung verwendet wird. Hier sind Fragestellungen bezüg-

lich der Materialermüdung von spröden Werkstoffen oder auch Ausfällen von elektronischen

Bauteilen relevant.

Benannt ist die Weibull-Verteilung nach dem Schweden Waloddi Weibull (1887 bis 1979).

Die Weibull-Analyse gilt als klassische Zuverlässigkeitsanalyse oder das klassische Lebens-

dauerdiagramm. Sie hat besonders in der Automobilindustrie eine große Bedeutung. Aus

dem sogenannten »Weilbull-Netz« lassen sich die charakteristische Lebensdauer sowie eine

»Ausfallwahrscheinlichkeit« von Bauteilen oder anderen Komponenten ablesen.

WEIBULL.VERT() / WEIBULL()

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Verallgemeinert handelt es sich bei der Weilbull-Verteilung um eine Exponentialverteilung.

Mit der Weibull-Verteilung wird aus verschiedenen Gründen gearbeitet:

씰

Sehr viele Verteilungsformen lassen sich mit der Weibull-Verteilung darstellen

씰

Die Weibull-Funktion ist mathematisch leicht zu handhaben

씰

Zeitabhängige Ausfallmechanismen erscheinen als Gerade

HinweisMehr Informationen zur Exponentialverteilung finden Sie auf Seite 406 unter der Funktion

EXPON.VERT().

Sie können mithilfe der Funktion WEIBULL.VERT() sowohl die Dichte- als auch die Vertei-

lungsfunktion der Weibull-Verteilung berechnen.

Zur Berechnung der Dichtefunktion verwenden Sie für das Argument kumuliert den Wahr-

heitswert FALSCH. Die Dichtefunktion stellt die erste Ableitung der Verteilungsfunktion

nach der Zufallsvariablen (z.B. Zeit bei der Ausfalldichtefunktion) dar. Anders ausgedrückt

wird die differentielle Änderung der relativen Häufigkeit pro Skalenabschnitt errechnet.

Zur Berechnung der Verteilungsfunktion verwenden Sie für das Argument kumuliert den

Wahrheitswert WAHR. Die Verteilungsfunktion F(x) gibt die relative Häufigkeit von Ereig-

nissen in kumulierter Form an.

Im eindimensionalen Fall bedeutet das, wie bei einigen anderen Verteilungsfunktionen auch,

dass F(x) die Wahrscheinlichkeit angibt, dass die Zufallsvariable y höchstens den Wert x

annimmt.

Abbildung 11.152: Die grafische Darstellung der Weibull-Verteilung mit den Argumenten x,

Alpha=5, Beta=2, kumuliert = Falsch

Die Gleichung der Verteilungsfunktion einer Weibull-Verteilung lautet wie folgt:

()

()

/

,, 1

x

Fx e

α

−β

αβ= −

Kapitel 11 Statistische Funktionen

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Die Gleichung der Dichtefunktion einer Weibull-Verteilung lautet wie folgt:

Ist Alpha = 1, gibt die Funktion WEIBULL.VERT() die Exponentialverteilung mit Folgendem

zurück:

Das Verhalten der Ausfallrate hängt demnach vom Parameter β ab:

씰

1 > β monoton wachsend

씰

1 = β konstant und somit eine Exponentialverteilung

씰

1 < β monoton fallend

Praxiseinsatz Gehen Sie folgendermaßen zur Berechnung von WEIBULL.VERT() vor:

Gegeben sind die Werte:

씰

105 = Wert, für den die Funktion ausgewertet werden soll (x)

씰

20 = Alpha-Parameter der Verteilung (Alpha)

씰

100 = Beta-Parameter der Verteilung (Beta)

씰

WAHR = kumuliert

씰

FALSCH = kumuliert

Die Berechnung von WEIBULL.VERT() sehen Sie in Abbildung 11.153.

Abbildung 11.153: Berechnung von WEIBULL.VERT()

Unter Angabe der in Abbildung 11.153 dargestellten Parameter gibt die Funktion WEI-

BULL.VERT() folgende Ergebnisse zurück:

씰

Für kumuliert = WAHR liefert WEIBULL.VERT() die Verteilungsfunktion einer Weibull-

Verteilung mit dem Wert 0,929581

씰

Für kumuliert = FALSCH liefert WEIBULL.VERT() die Dichtefunktion einer Weibull-

Verteilung mit dem Wert 0,035589

Siehe auch EXPON.VERT()

CD-ROM Dieses Beispiel finden Sie auf der CD-ROM zum Buch im Ordner \Buch\Kap11 in den Arbeitsmappen

Wahrscheinlichkeit.xls (Excel 97-2003) auf dem Arbeitsblatt Weibull bzw. Wahrscheinlichkeit.xlsx (Excel

2007/2010) auf dem Arbeitsblatt Weibull.vert.

()

()

/

1

,,

x

fx x e

α

−β

α−

α

α

αβ=

β

1

λ=

β