第6章　混合模型

“……父亲是狮子，母亲是蚂蚁；父亲吃肉，母亲吃草。它们繁殖了蚂蚁狮子……”

——博尔赫斯，《想象的动物》作者

拉普拉塔河是地球上最宽的河流，它是阿根廷和乌拉圭的天然分界线。在19世纪晚期，这条河沿岸的港口地区混居着当地人、非洲人和欧洲移民。这次混居的结果促进了欧洲音乐的融合，如华尔兹和玛祖卡，以及非洲的坎多姆和阿根廷的米隆加（这是一种舞蹈和音乐相结合的形式，是探戈的源头）。

混合已有的元素是创造新事物的好办法，不仅限于音乐。在统计学中，混合模型是一种常用的建模方法。这些模型是通过混合更简单的分布来建立的，目的是获得更复杂的分布。例如，我们可以组合两个高斯分布来描述一个双峰分布，或者混合多个高斯分布来描述任意分布。除了常见的高斯分布，原则上，我们可以混合任何分布。混合模型有多种用途，例如直接为子群体建模，或者用来处理那些不能用简单的分布来描述的复杂分布。

在本章中，我们将介绍以下主题。

● 有限混合模型。

● 非有限混合模型。

● 连续混合模型。

6.1　简介

当总群体由不同子群体组成时，混合模型天然就存在。一个常见的例子是，给定成年人口的身高分布，可以将其描述为女性身高分布和男性身高分布的混合分布。另一个经典的例子是手写数字的聚类。在这个例子中，期望得到10个子群体是非常合理的，至少在十进制中是这样！如果我们知道每个观测值属于哪个子群，最好使用这些信息将每个子群建模为一个单独的组。然而，当我们无法直接获得这些信息时，混合模型就派上了用场。

提示：很多数据集不能用一个单一的概率分布来正确描述，但可以把它们描述为这些分布的混合分布。假设模型的数据来自混合分布，我们称这样的模型为 ...