Quantitative Methoden der Wirtschaftswissenschaften, 4th Edition

Hilfssatz 1.16. Sei q ≠ 1 eine reelle Zahl und n ∈ ℕ. Dann gilt:

a)die geometrische Summenformel

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}{q}^k}=\frac{q^n-1}{q-1},$

b)die Gaußformel

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k}=\frac{n\cdot \left(n+1\right)}{2}.$

Begründung. Die Formel von Gauß beweist man mittels vollständiger Induktion nach der Anzahl der zu summierenden Zahlen. Im Hinblick auf die geometrische Summenformel rechnet man

$\left(q-1\right)\cdot {\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}{q}^k}={\displaystyle \sum _{k=0}^n{q}^k}-{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}{q}^k}=q^n-1,$

woraus nach einer Division durch q − 1 die Behauptung folgt.

Hinsichtlich der formelmäßigen Zusammenfassung von Renten unterscheidet man konstante, arithmetische sowie geometrische ...