Quantitative Methoden der Wirtschaftswissenschaften, 4th Edition

Auflösen der Nebenbedingung nach y und Einsetzen in die Problemfunktion ergibt mit

$f\left(x\right)=x.\left(2-x\right)=2x-x^2$

eine Funktion in nur noch einer Veränderlichen, für die die Ableitungen lauten

$f^{\prime }\left(x\right)=2-2x=2\cdot \left(1-x\right)\text{und }{f}^{″}\left(x\right)=-2.$

Daher liegt an der Stelle x = y = 1 ein lokales Maximum vor. Betrachtet man im Gegensatz dazu die Lagrangefunktion

$L\left(x,y,\lambda \right)=xy+\lambda \cdot \left(x+y-2\right),$

so führt diese zunächst auf denselben Kandidaten für einen Extrempunkt, denn man bildet die partiellen Ableitungen, setzt diese gleich 0

$\begin{array}{lllll}{L}_x\left(x,y,\lambda \right)\hfill & =\hfill & y+\lambda \hfill & =\hfill & 0,\hfill \\ L_y\left(x,y,\lambda \right)\hfill & =\hfill & x+\lambda \hfill & =\hfill & 0,\hfill \\ L_{\lambda }\left(x,y,\lambda \right)\hfill & =\hfill & x+y\hfill & -2\hfill & =0,\hfill \end{array}$

und folgert x = y aus den ersten beiden Gleichungen und x = 1 aus der dritten. ...