Quantitative Methoden der Wirtschaftswissenschaften, 4th Edition

Aus der ersten Gleichung folgt unmittelbar:

$x_2=10-3x_1.$

Dieses Ergebnis wird dann in die zweite Gleichung eingesetzt:

$-x_1-3\cdot \left(10-3x_1\right)+20=8x_1-10=0\iff x_1=1,25.$

Damit ergibt sich die maximale Absatzmenge für das Haarshampoo

$x_2=10-3,75=6,25$

und die dazugehörigen optimalen Stückpreise lauten:

$p_1=10-1,25=8,25\iff p_2=20-6,25=13,75.$

Daraus ergibt sich ein maximaler Gewinn in Höhe von:

$G\left(x_1,x_2\right)=-20-1,25\cdot 6,25-1,5\cdot \left(1,{25}^2+6,{25}^2\right)+10.1,25+20\cdot 6,25=48,75.$

Die Hessematrix belegt, dass es sich tatsächlich um das Maximum handelt:

$G^{″}\left(x_1,x_2\right)=\left(\begin{array}{cc}-3& -1\\ -1& -3\end{array}\right)=A.$

Denn die Hauptabschnittsdeterminanten der symmetrischen Matrix lauten:

$\det \left(A^{11}\right)=-3<0$