Aus der ersten Gleichung folgt unmittelbar:

x 2 =103 x 1 .

Dieses Ergebnis wird dann in die zweite Gleichung eingesetzt:

x 1 3( 103 x 1 )+20=8 x 1 10=0 x 1 =1,25.

Damit ergibt sich die maximale Absatzmenge für das Haarshampoo

x 2 =103,75=6,25

und die dazugehörigen optimalen Stückpreise lauten:

p 1 =101,25=8,25 p 2 =206,25=13,75.

Daraus ergibt sich ein maximaler Gewinn in Höhe von:

G( x 1 , x 2 )=201,256,251,5( 1, 25 2 +6, 25 2 )+10.1,25+206,25=48,75.

Die Hessematrix belegt, dass es sich tatsächlich um das Maximum handelt:

G ( x 1 , x 2 )=( 3 1 1 3 )=A.

Denn die Hauptabschnittsdeterminanten der symmetrischen Matrix lauten:

det( A 11 )=3<0

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