Statistik, 15th Edition

Kap. XIV: Explorative Datenanalyse und robuste Verfahren 867

Schätzwert T„ basierend auf der Stichprobe x

1;

..., x

n

. Ist die Funktion ρ(χ) diffe-

renzierbar und bezeichnet man die Ableitung mit ψ(χ), so gilt also

Σ V>(

XI

-T

N

) = 0;

i=l

bei streng monotonem ψ(χ) ergibt sich T

n

somit als (eindeutige) Lösung dieser

Gleichung. Oft werden nicht-skaleninvariante M-Schätzer auch direkt durch die

Angabe einer Funktion ψ(χ) definiert.

Beispiel: Für die Funktion ρ(χ) = x

2

/2, d.h. ψ(χ) = χ, ergibt sich aus der Glei-

chung

0= Σψ(χ

ί

-Τ

η

)= £(x

i

-T

n

)= £xi-nT

n

i = 1 i=l i=l

gerade

η 1

11

ηΤ

η

=Σχ; bzw. Τ

η

= -ΣΧί = Χ,

i

= 1

η i=

1

d.h. der Schätzer T

n

für die Lokatio ...