Statistik, 15th Edition

868 Kap. XIV: Explorative Datenanalyse und robuste Verfahren

Außerdem läßt sich der Bruchpunkt ε* eines nicht-skaleninvarianten M-Schät-

zers leicht bestimmen, wenn ψ(χ) eine monotone, beschränkte Funktion ist, die

sowohl positive als auch negative Werte annimmt. Es gilt dann nämlich

1

. /

xp(-co) v>(+oo)\

mit

η =

min

I

—

l+η

\ ψ(+οο)

\p(—co)J

Ist also

—

ψ(

—

οο) = ψ( + αο), so ergibt sich stets

η

=

1

und damit der maximale

Bruchpunkt e* = 0,5. Ist die Funktion

ψ(χ)

unbeschränkt, so ist der Bruchpunkt

des M-Schätzers stets ε* = 0.

Beispiel: Der Median T

n

= m ist ein M-Schätzer mit ρ(χ) = |x| und

[ 1, χ > 0

ip(x) = sgn(x) = j 0, falls x =