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Stochastik, 5th Edition

Book Description

Dieses Lehrbuch gibt eine Einführung in die "Mathematik des Zufalls", bestehend aus den beiden Teilbereichen Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Die stochastischen Konzepte, Modelle und Methoden werden durch typische Anwendungsbeispiele motiviert und anschließend systematisch entwickelt. Der dafür notwendige maßtheoretische Rahmen wird gleich zu Beginn auf elementarem Niveau bereitgestellt. Zahlreiche Übungsaufgaben, zum Teil mit Lösungsskizzen, illustrieren und ergänzen den Text. Zielgruppe sind Studierende der Mathematik ab dem dritten Semester, sowie Naturwissenschaftler und Informatiker mit Interesse an den mathematischen Grundlagen der Stochastik.

Die 5. Auflage wurde nochmals bearbeitet und maßvoll ergänzt.

Table of Contents

  1. Titel
  2. Impressum
  3. Vorwort
  4. Inhaltsverzeichnis
  5. Zufall und Mathematik
  6. Teil I - Wahrscheinlichkeitstheorie
    1. Kapitel 1 - Mathematische Beschreibung von Zufallssituationen
      1. 1.1 Wahrscheinlichkeitsräume
        1. 1.1.1 Festlegung eines Ergebnisraums
        2. 1.1.2 Festlegung einer Ereignis-σ-Algebra
        3. 1.1.3 Wahrscheinlichkeitsbewertung der Ereignisse
      2. 1.2 Eigenschaften und Konstruktion von Wahrscheinlichkeitsmaßen
      3. 1.3 Zufallsvariablen
      4. Aufgaben
    2. Kapitel 2 - Stochastische Standardmodelle
      1. 2.1 Die Gleichverteilungen
        1. 2.1.1 Diskrete Gleichverteilungen
        2. 2.1.2 Gleichverteilung im Kontinuum
      2. 2.2 Urnenmodelle mit Zurücklegen
        1. 2.2.1 Geordnete Stichproben
        2. 2.2.2 Ungeordnete Stichproben
      3. 2.3 Urnenmodelle ohne Zurücklegen
        1. 2.3.1 Nummerierte Kugeln
        2. 2.3.2 Gefärbte Kugeln
      4. 2.4 Die Poisson-Verteilungen
      5. 2.5 Wartezeit-Verteilungen
        1. 2.5.1 Die negativen Binomialverteilungen
        2. 2.5.2 Die Gamma-Verteilungen
        3. 2.5.3 Die Beta-Verteilungen
      6. 2.6 Die Normalverteilungen
      7. Aufgaben
    3. Kapitel 3 - Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit
      1. 3.1 Bedingte Wahrscheinlichkeiten
      2. 3.2 Mehrstufige Modelle
      3. 3.3 Unabhängigkeit
      4. 3.4 Existenz unabhängiger Zufallsvariablen, Produktmaße
      5. 3.5 Der Poisson-Prozess
      6. 3.6 Simulationsverfahren
      7. 3.7 Asymptotische Ereignisse
      8. Aufgaben
    4. Kapitel 4 - Erwartungswert und Varianz
      1. 4.1 Der Erwartungswert
        1. 4.1.1 Der diskrete Fall
        2. 4.1.2 Der allgemeine Fall
      2. 4.2 Wartezeitparadox und fairer Optionspreis
      3. 4.3 Varianz und Kovarianz
      4. 4.4 Erzeugende Funktionen
      5. Aufgaben
    5. Kapitel 5 - Gesetz der großen Zahl und zentraler Grenzwertsatz
      1. 5.1 Das Gesetz der großen Zahl
        1. 5.1.1 Das schwache Gesetz der großen Zahl
        2. 5.1.2 Anwendungsbeispiele
        3. 5.1.3 Das starke Gesetz der großen Zahl
      2. 5.2 Die Normalapproximation der Binomialverteilungen
      3. 5.3 Der zentrale Grenzwertsatz
      4. 5.4 Normal- oder Poisson-Approximation?
      5. Aufgaben
    6. Kapitel 6 - Markov-Ketten
      1. 6.1 Die Markov-Eigenschaft
      2. 6.2 Absorptionswahrscheinlichkeiten
      3. 6.3 Asymptotische Stationarität
        1. 6.3.1 Der Konvergenzsatz
        2. 6.3.2 Anwendungen
      4. 6.4 Wiederkehrzeiten und Besuchswahrscheinlichkeiten
        1. 6.4.1 Rekurrenz und Transienz
        2. 6.4.2 Positive Rekurrenz und stationäre Verteilungen
      5. Aufgaben
  7. Teil II - Statistik
    1. Kapitel 7 - Parameterschätzung
      1. 7.1 Der Ansatz der Statistik
      2. 7.2 Die Qual der Wahl
      3. 7.3 Das Maximum-Likelihood-Prinzip
      4. 7.4 Erwartungstreue und quadratischer Fehler
      5. 7.5 Beste Schätzer
      6. 7.6 Konsistenz von Schätzern
      7. 7.7 Bayes-Schätzer
      8. Aufgaben
    2. Kapitel 8 - Konfidenzbereiche
      1. 8.1 Definition und Konstruktionsverfahren
      2. 8.2 Konfidenzintervalle im Binomialmodell
      3. 8.3 Ordnungsintervalle
      4. Aufgaben
    3. Kapitel 9 - Rund um die Normalverteilung
      1. 9.1 Die mehrdimensionale Normalverteilung
      2. 9.2 Die χ2-, F- und t-Verteilungen
      3. Aufgaben
    4. Kapitel 10 - Testen von Hypothesen
      1. 10.1 Entscheidungsprobleme
      2. 10.2 Alternativtests
      3. 10.3 Beste einseitige Tests
      4. 10.4 Parametertests im Gauß-Produktmodell
        1. 10.4.1 Chiquadrat-Tests für die Varianz
        2. 10.4.2 t-Tests für den Erwartungswert
      5. Aufgaben
    5. Kapitel 11 - Asymptotische Tests und Rangtests
      1. 11.1 Normalapproximation von Multinomialverteilungen
      2. 11.2 Der Chiquadrat-Anpassungstest
      3. 11.3 Der Chiquadrat-Test auf Unabhängigkeit
      4. 11.4 Ordnungs- und Rangtests
        1. 11.4.1 Median-Tests
        2. 11.4.2 Rangstatistiken und Zweistichproben-Problem
      5. Aufgaben
    6. Kapitel 12 - Regressions- und Varianzanalyse
      1. 12.1 Einfache lineare Regression
      2. 12.2 Das lineare Modell
      3. 12.3 Das lineare Gauß-Modell
      4. 12.4 Varianzanalyse
      5. Aufgaben
  8. Lösungsskizzen für die markierten Aufgaben
    1. Kapitel 1
    2. Kapitel 2
    3. Kapitel 3
    4. Kapitel 4
    5. Kapitel 5
    6. Kapitel 6
    7. Kapitel 7
    8. Kapitel 8
    9. Kapitel 9
    10. Kapitel 10
    11. Kapitel 11
    12. Kapitel 12
  9. Verteilungstabellen
    1. A Normalverteilung
    2. B Chiquadrat- und Gamma-Verteilungen
    3. C Student-Verteilungen
    4. D Fisher- und Beta-Verteilungen
    5. E Wilcoxon-Mann-Whitney-U-Verteilungen
  10. Literatur
    1. A. Einige einführende Lehrbücher zur Stochastik
    2. B. Einige weiterführende und vertiefende Lehrbücher
    3. C. Sonstige im Text zitierte Literatur
  11. Symbolverzeichnis
    1. Allgemeine Bezeichnungen
    2. σ-Algebren, Wahrscheinlichkeitsmaße, Zufallsvariablen, Statistiken
    3. Spezielle verteilungen und ihre Dichten
    4. Das griechische Alphabet
  12. Index