プログラミング・ビットコイン ―ゼロからビットコインをプログラムする方法

2章楕円曲線

本章では楕円曲線について学びます。本章の楕円曲線と1章の有限体を組み合わせて、次の3章では楕円曲線暗号について扱っていきます。

楕円曲線といっても、これまでなじみのなかった方には難解に思えるかもしれません。しかし、1章の有限体と同じで、数学の理論自体はさほど難しくはありません。楕円曲線に関して必須の知識は、その大半が高校で代数を学んだ後に履修していてもおかしくない内容です。本章では、各曲線の定義と、その性質を使って何ができるかを見ていきましょう。

2.1　定義

楕円曲線は、中学の代数入門コース以降、頻繁に登場するさまざまな式に似ています。左辺にy、右辺にxがあり、楕円曲線の式は以下のようになります。

y²＝x³＋ax＋b

これと似た式を見たことがあるでしょう。たとえば中学で習った一次方程式は次の式でした。

y＝mx＋b

この式のmを傾き、bをy切片という名称で覚えている方もいるでしょう。一次方程式は、図2-1のグラフで表すこともできます。

図2-1　一次方程式

次に二次方程式ですが、こちらもおそらくよくご存じでしょう。式とグラフは次のとおりです（図2-2）。

y＝ax²＋bx＋c

図2-2　二次関数

さらに、みなさんの中には、高校の代数で、 ...