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Bewegungsgruppen regelmäßiger Vielecke 11
1.2 Bewegungsgruppen regelmäßiger Vielecke
In diesem Abschnitt wollen wir die oben eingeführten Konzepte anhand von Abbil-
dungen von regelmäßigen Vielecken auf sich selbst veranschaulichen. Ein regelmä-
ßiges
n-Eck ist ein ungerichteter Graph C
n
= (V , E) mit V = Z/nZ und der Kanten-
menge
E ={{i, i + 1}|i Z/nZ}⊆
V
2
. Die Fälle n = 0, n = 1 und n = 2 entarten
und sind für uns uninteressant. Für
n 3 hat ein n-Eck stets n Kanten.
0
1
2
Dreieck
0
1
2
3
Viereck
0
1
2
3
4
nfeck
Ein Automorphismus eines Graphen
G = (V, E) ist eine bijektive Abbildung ϕ : V
V
mit
x,y V : {x, y}∈E {ϕ(x),ϕ(y)}∈E
Die Menge der Automorphismen Aut(G) V
V
eines Graphen G = (V , E) bildet eine
Gruppe mit der Hintereinanderausführung von Abbildungen als Verknüpfung und
dem neutralen Element
id
V
. Man bezeichnet Aut(G) als die Automorphismengruppe
oder Bewegungsgruppe von
G. Im Folgenden wollen wir die Gruppen D
n
= Aut(C
n
)
untersuchen, die Bewegungsgruppen von regelmäßigen n-Ecken.
Sei
ϕ D
n
,dannistϕ eindeutig durch die Werte ϕ(0) und ϕ(1) bestimmt.
Sei
ϕ(0) = i mit i Z/nZ.Danngibtesfürϕ(1) nur die glichkeiten ϕ(1) =
i + 1
und ϕ(1) = i 1, denn der Knoten i istnurmitdenKnoteni 1 und i +
1
verbunden. In dem für uns interessanten Fall n 3 sind i + 1 und i 1 zwei
verschiedene Knoten. Falls
ϕ(1) = i +1,dannfolgtϕ(2) = i +2,dai und i +2 die
einzigen Nachbarn von
i + 1 sind, und weil ϕ(2) i = ϕ(0) wegen der Bijektivität
von
ϕ gilt. Wenn wir so fortfahren, erhalten wir ϕ(j) = ϕ(0) + j. Im anderen Fall
ϕ(1) = i 1 erhalten wir symmetrisch ϕ(j) = ϕ(0) j für alle j Z/nZ.Dies
bedeutet
|D
n
|=2n für n 3,dawirfürϕ(0) genau n Möglichkeiten haben und
zwei gliche Orientierungen in Frage kommen. Die 6 Elemente von
D
3
lassen sich
wie folgt veranschaulichen:
0
1
2
id
1 2
0
δ
2
0
1
δ
2
0
2
1
σ
1
0
2
δσ
2 1
0
δ
2
σ
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12 Algebraische Strukturen
Wegen 6 = 3! ergibt sich, dass D
3
alle Permutationen der Ecken 0, 1 und 2 enthält. Wir
zeigen jetzt, dass für
n 3 die Gruppe D
n
in Drehungen und Spiegelungen zerfällt.
Definiere die Drehung
δ D
n
durch:
δ(j) = j +1 für j Z/nZ
Dann gilt δ
k
(j) = j + k für alle k, j Z/nZ und damit δ
n
= id. Insbesonde-
re folgt daraus
δ
k
= δ
m
, falls k m mod n.Esgibtn Drehungen id = δ
0
=
δ
1
2
,...,δ
n1
. Dabei gilt für jede Drehung
k
)
1
= δ
nk
= δ
k
falls k Z/nZ.
Wir definieren die S piegelung
σ D
n
durch
σ(j) =−j für j Z/nZ
Wir können σ durch die Spiegelung an der Achse durch den Punkt 0 Z/nZ und den
Mittelpunkt des
n-Ecks visualisieren. Das Verhalten für ungerade n und gerade n ist
unterschiedlich. Für ger ade
n hat σ zwei Fixpunkte. Es gilt σ(0) = 0 und σ(
n
2
) =
n
2
.
r ungerade
n ist 0 der einzige Fixpunkt .
Sei
i Z/nZ ein beliebiger Eckpunkt. Betrachte die Spiegelung σ
i
an der Achse
durch
i und den Mittelpunkt des n-Ecks. Dann gilt σ
i
(j) =−(j i) + i = 2i j =
δ
2i
(j)). Das heißt, die Spiegelungen haben mit σ = σ
0
alle die Gestalt σ
i
= δ
2i
σ .
r ungerade
n sind alle σ
i
verschieden, und wir erhalten
D
n
={id
2
,...,δ
n1
0
1
,...,σ
n1
}
r gerade n geht die Spiegelungsachse durch i und den Mittelpunkt auch durch den
Punkt
n
2
+ i und es gilt σ
i
= σ
n
2
+i
.Esgibtdannaber
n
2
weitere Spiegelungsachsen
durch je zwe i gegenüberliegende Kanten.
n ungerade
n gerade,
Spiegelungsachse
durch 2 Knoten
n gerade,
Spiegelungsachse
durch 2 Kanten
Betrac hte die Abbildung
δ
i
σ mit i ungerade. Dann gilt δ
i
σ(j) = i j. Man beachte,
für
n gerade und i ungerade gibt es kein j mit i j j mod n,d.h.,δ
i
σ besitzt
keine Fixpunkte. Die Spiegelungsachse teilt genau zwei Kanten. Um diese Kanten zu
berechnen, betrachten wir die Gleichung
δ
i
σ(j) = j+1. Es ergibt sich die Kongruenz

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