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16 Algebraische Strukturen
Satz 1.16. Jedes Element der symmetrischen Gruppe S
n
kann als Produkt von höchs-
tens
n
2
Transpositionen geschrieben werden, so dass jede dieser Transpositionen nur
benachbarte Elemente vertauscht.
Beweis. Sei
π S
n
. Wir machen eine Induktion nach der Anzahl der Fehlstellun-
gen
I(π).Wennπ keine Fehlstellung e n hat, dann gilt stets π(i) = i,undπ ist die
Identität. Ins besondere ist
π dann das Produkt von 0 Transpositionen. Wenn π eine
Fehlstellung enthält, dann gibt es einen Index
i mit π(i) > π(i+1).Seiσ die Trans-
position, die
i und i+1 vertauscht; dann hat πσ eine Fehlstellung weniger als π.Mit
Induktion lässt sich
πσ als Produkt von Transpositionen σ
1
···σ
m
schreiben, wo-
bei
m = I(πσ) gilt und jede Transposition σ
i
nur benachbarte Elemente vertauscht.
Es folgt
π = σ
1
···σ
m
σ .
Aufgrund von Korollar 1.15 sehen wir, dass die Definition des Vorzeichens unab-
hängig von der Wahl der Anordnung der Elemente in
{1,...,n} ist, denn die Defini-
tion einer Transposition ist davon unabhängig. Ist also
X eine endliche Meng e und π
eine Permutation von X, so können wir das Vorzeichen sgn) definieren. Insbeson-
dere können wir bei einer endlichen Gruppe
G mit einer beliebigen Anordnung der
Elemente beginnen, und jede solche Anordnung definiert für alle
g G dasselbe Vor-
zeichen
sgn(g) ∈{1, 1};hierzubetrachtetmandievong induzierte Permutation
x → gx auf G.
Bemerkung 1.17. Der Kern des Homomorphismus
sgn : S
n
→{1, 1} ist die alter-
nierende Gruppe
A
n
über n Elementen. Es sind die Permutationen mit positivem Vor-
zeichen. Man spricht auch von der Menge der geraden Permutationen,währenddie
Elemente mit Vorzeichen
1 als ungerade Permutationen bezeichnet werden. Nach
Korollar 1 .15 werden gerade (bzw. ungerade) Permutationen von einer geraden (bzw.
ungeraden) Anzahl von Transpositionen erzeugt. Bemerkenswert ist auch, dass die
Gruppen
A
n
ab n = 5 keine nichttrivialen Normalteiler haben. Diese Eigenschaft
führte zu der Erkenntnis, dass Polynomgleichungen fünften oder höheren Grades im
All gemeinen nicht mit sogenannten Wurzelausdrücken auflösbar sind. Der entspre-
chende Satz ist nach Paolo Ruffini (1765–1822) und Niels Henrik Abel benannt, und
seine Entdeckung steht am Anfang der Galois-Theorie.
1.4 Ringe
Wir erinnern uns, dass ein Ring durch ein Tupel (R, +, ·, 0, 1) gegeben ist, wobei
(R, +, 0) eine abelsche Gruppe und (R, ·, 1) ein Monoid ist. Der Ring heißt kommuta-
tiv, wenn die Multiplikation kommutativ ist. Ferner gelten die Distributivgesetze:
(x + y)· z = x · z + y · z
z ·(x + y) = z ·x + z · y
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Ringe 17
Gilt in einem Ring 0 = 1,sofolgtR ={0} und R ist der Nullring.Inallenande-
ren Ringen gilt
0 1. Die Menge der multiplikati v invertierbaren Elemente {r
R |∃s : rs = sr = 1}
ist die Einheitengruppe oder multiplikative Gruppe von R und
wird mit
R
bezeichnet. Es gilt 1 R
.EinRingR ist ein Schiefkörper,wennnurdie
Null nicht in vertierbar ist, also
R
= R\{0}gilt. W ir behandeln hier nur kommutative
Schiefkörper, dies sind genau die rper.
Eine Teilmenge
S eines Rings R heißt Unterring, falls S bezüglich der Addition
eine Untergruppe und bezüglich der Multiplikation ein Untermonoid bildet. Insbe-
sondere haben Unterringe dieselbe Null und dieselbe Eins. Damit ist
S mit den Ein-
schränkungen der Operationen von
R selbst ein Ring. Ein Unterring S eines Körpers R
ist ein Unterkörper, falls S selbst ein Körper ist.
Beispiel 1.18. Ist
R ein Ring, so bildet die Menge der Abbildungen
R
R
=
f : R R
f ist Abbildung
einen Ring mit der punktweisen Addition und Multiplikation. Formal sind für f,g
R
R
die Abbildungen f + g R
R
und f · g R
R
definiert durch:
(f + g)(r ) = f(r)+g(r)
(f ·g)(r ) = f(r)· g(r)
Auch wenn R ein Körper ist, so ist R
R
kein Körper .
Wir nennen eine Abbildung ϕ : R S zwischen Ringen einen Homomorphis-
mus oder genauer einen Ringhomomorphismus, falls die folgenden Bedingungen für
alle
x,y R erfüllt sind.
(a)
ϕ(x +y) = ϕ(x) +ϕ(y)
(b) ϕ(x ·y) = ϕ(x) · ϕ(y)
(c) ϕ(1) = 1
Die erste Eigenschaft bedeutet, dass ϕ ein Gruppenhomomorphismus bezüglich der
Addition ist. Es gilt deshalb auch
ϕ(0) = 0. Die beiden letzten Eigenschaften be-
sagen, dass
ϕ ein Monoidhomomorphismus bezüglich der Multiplikation ist. Insbe-
sondere folgt (c) nicht aus (b). Ein bijektiver Ringhomomorphismus ist ein Ringiso-
morphismus, denn aufgrund der Bijektivität ist die Umkehrabbildung auch ein Homo-
morphismus.
Beispiel 1.19. Sei
R ein Ring und r R.DannistdieZuordnungR
R
R mit f →
f(r)
ein Ringhomomorphismus.
Eine Teilmenge I R heißt Ideal,wennI eine additive Untergruppe von R ist
und wenn
R ·I ·R I gilt. Eine Teilmenge I R ist eine additive Untergruppe von R,
wenn
(I, +, 0) eine Untergruppe von (R, +, 0 ) ist. Ein Ideal kann nur dann ein Un-
terring sein, wenn
1 I gilt. Dann gilt aber schon I = R. Die Menge der additiven

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