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Die Einheitengruppe modulo n 39
mente und damit eine zyklische Untergruppe der Ordung q 1. Also zerfällt X
q1
1
über L in Linearfaktoren; und f besitzt als Teiler von X
q1
1 eine Nullstelle β L.
Wir definieren jetzt einen Homomorphismus
ψ : F
p
[X]/f L, g(X) → g(β).Als
Körperhomomorphismus ist er injektiv und damit erscheint
K als isomorpher Unter-
körper von
L.
Beispiel 1.60. Sei n 1. Nach Satz 1.58 gibt es einen Erweiterungskörper E über
F
2
mit genau 2
n
Elementen und der lässt sich beschreiben als E = F
2
[X]/f für ein
über
F
2
irreduzibles Polynom f(X) vom Grad n. Falls wir E als Vektorraum über F
2
auffassen, dann sind die Elemente 1,X,...,X
n1
aus E linear unabhängi g. Wenn wir
α
i
= (0 ···010 ···0) mit der 1 an der (n i)-ten Stelle von links setzen, dann
induziert
X
i
→ α
i
eine Bijektion zwischen E und den n-stelligen 0-1-Folgen B
n
.
Hierbei wird jedes Polynom vom Grad kleiner
n durch die Folge seiner Koeffizienten
repräsentiert. Insbesondere liefert dies eine Körperstruktur auf
B
n
.
Sei jetzt konkret
f(X) = X
3
+ X
2
+ 1 F
2
[X]. Dieses Polynom hat in F
2
keine
Nullstellen. Der Grad ist nur 3, daher ist
f irreduzibel und E = F
2
[X]/f ist ein Kör-
per mit
8 Elementen. Die Elemente aus E sind genau die Linearkombinationen von
1,X,X
2
mit Koeffizienten aus F
2
. Die Folgen dieser K oeffizienten ergeben eine Dar-
stellung von
E durch 3-stellige 0-1-Folgen. Bei der Multiplikation dieser Folgen gilt
beispielsweise
(101)(111) = (X
2
+1)(X
2
+X +1) = 1 = (001)
denn (X
2
+1)(X
2
+X +1) 1modf in F
2
[X].
1.10 Die Einheitengruppe modulo n
Wir haben gesehen, dass die Einheitengruppe (Z/nZ)
zyklisch ist, wenn n eine
Primzahl ist. In diesem Abschnitt wollen wir die Struktur der multiplikativen Grup-
pe
(Z/nZ)
für Primzahlpotenzen n beschreiben. Die Struktur von (Z/nZ)
für be-
liebige Zahlen
n ergibt sich dann mit dem chinesischen Restsatz. Betrachten wir die
Gruppe
G = (Z/8Z)
, so können wir G mit den ungeraden Zahlen 1, 3, 5, 7 identi-
fizieren. Es gilt
a
2
= 1 für alle a G.DaG die Ordnung 4 hat, ist G insbesondere
nicht zyklisch.
Als technisches Hilfsmittel benötigen wir noch die folgenden beiden Rechnungen
modulo Primzahlpotenzen.
Lemma 1.61. Sei
p eine ungerade Primzahl und e 2. Für alle a Z gilt
(1 +ap)
p
e2
1 +ap
e1
mod p
e
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40 Algebraische Strukturen
Beweis. r e = 2 ist die Behauptung trivial. Sei jetzt e>2. Mit Induktion gilt (1 +
ap)
p
e3
= 1 +ap
e2
+ bp
e1
für b Z. Damit erhalten wir:
(1 +ap)
p
e2
= (1 +ap
e2
+bp
e1
)
p
=
k
p
k
(a + bp)p
e2
k
1 +p(a + bp)p
e2
+p
e
Z + (a +bp)
p
p
p(e2)
Wegen p>2 gilt p
e
| p
p(e2)
.Esfolgt(1 + ap)
p
e2
1 +ap
e1
mod p
e
.
Lemma 1.62. Sei e 3. Für alle a Z gilt (1 + 4a)
2
e3
1 +2
e1
a mod 2
e
.
Beweis. r
e = 3 ist die Behauptung trivial. Sei jetzt e>3. Mit Induktion gilt (1 +
4a)
2
e4
= 1 +2
e2
a + 2
e1
b für b Z.Mite 2e 4 ergibt sich:
(1 +4a)
2
e3
= (1 +2
e2
a + 2
e1
b)
2
= 1 +2
e1
(a + 2b) + 2
2e4
(a + 2b)
2
1 +2
e1
a mod 2
e
Wir verwenden nun die beiden obigen Lemmata, um zu zeigen, dass gewisse Ele-
mente in
(Z/p
e
Z)
eine große Ordnung haben.
Satz 1.63. Sei
p eine Primzahl und e 1.Wennp ungerade ist oder e 2 gilt, dann
ist
(Z/p
e
Z)
zyklisch. r e>2 ist (Z/2
e
Z)
isomorph zur additiven Gruppe Z/2Z ×
Z/2
e2
Z und damit nicht z yklisch.
Beweis. Die multiplikative Gruppe eines Körpers ist zyklisch, und Gruppen von Prim-
zahlordnung sind zyklisch. Dies zeigt die Behauptung für die Fälle
e = 1 sowie p = 2,
e = 2.Seijetztp ungerade und e 2. Wir wählen einen Erzeuger g von (Z/pZ)
.Es
gilt
g
p1
= 1 + ap und (p + g)
p1
= 1 + bp für a, b Z. Angenommen p | a und
p | b.Danngiltg
p
g mod p
2
und (p + g)
p
p + g mod p
2
, woraus sich wie
folgt ein Widerspruch ergibt:
p +g (p +g)
p
k
p
k
p
k
g
pk
mod p
2
g
p
+ppg
p1
g
p
g mod p
2
Ohne Einschränkung sei also ggT(a, p) = 1; andernfalls betrachten wir den Erzeuger
p+g von (Z/pZ)
. Mit Lemma 1.61 folgt (1+ap)
p
e1
1+ap
e
mod p
e+1
und damit
(1 +ap)
p
e1
1modp
e
. Insbesondere ist die Ordnung von 1 +ap in (Z/p
e
Z)
ein
Teiler von
p
e1
. Ebenfalls mit Lemma 1.61 sehen wir (1 + ap)
p
e2
1 + ap
e1
≡
1modp
e
. Deshalb hat g
p1
in (Z/p
e
Z)
die Ordnung p
e1
,undg hat die Ordnung
(p 1)p
e1
.Alsoist(Z/p
e
Z)
zyklisch.
Wir kommen nun zu dem Fall
p = 2 und e>2. Aus Lemma 1.62 folgt 5
2
e2
=
(1 + 4)
2
e2
1 + 2
e
mod 2
e+1
und damit 5
2
e2
1mod2
e
. Ganz ähnlich sehen
wir
5
2
e3
1 +2
e1
≡ 1mod2
e
. Deshalb hat 5 die Ordnung 2
e2
in (Z/2
e
Z)
.Sei
G die von 5 erzeugte Untergruppe von (Z/2
e
Z)
. Angenommen 1 G,d.h.5
n

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