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5 Elliptische Kurven
Die komplexen Zahlen C können nach Johann Carl Friedrich Ga (1777–1855) als
Zahlenebene visualisiert werden. Ziehen wir den unendlich fernen Rand dieser Ebe-
ne zu einem Punkt zusammen, so erhalten wir die Oberfläche einer Kugel. Der neue
Punkt entspricht in der folgenden Zeichnung etwa dem Nordpol und die reellen Zah-
len erscheinen dort als Kreis.
Das typische Bild einer elliptischen Kurve über C ist komplizierter und entsteht
durch B etrachtung eines Gitters. Im einfachsten Fall ist dieses Gitter die additive Un-
tergruppe
L = Z × iZ.FüreinGitterL können wir die Faktorgruppe C/L bilden. Von
dieser Gruppe können wir uns ein dreidimensionales Bild machen, ähnlich wie wir
uns eine Kugeloberfläche im dreidimensionalen Raum vorstellen. Bei
C/L ergibt sich
allerdings keine Kugel, sondern ein Torus, also eine Art Rettungsring oder Donut. Wir
starten mit dem Einheitsquadrat
[0, 1] × [0, 1] im zweidimensionalen Raum, also in
der Zahlenebene
C. Dann liegen die vier Randpunkte von [0, 1] × [0, 1] in dem Git-
ter
L und wir erhalten C/L, indem wir den oberen mit dem unteren und den linken
mit dem rechten Rand des Einheitsquadrats
[0, 1] ×[0, 1] zusammenkleben. Das Er-
gebnis ist a lso ein Torus, der die Gruppe
C/L realisiert. Wir erkennen, dass es in C/L
genau vier Elemente der Ordnung kleiner oder gleich 2 gibt. Sie entsprechen in dem
Einheitsquadrat
[0, 1] ×[0, 1 ] den Punkten (0, 0), (0, 1/2), (1/2, 0), (1/2, 1/2).Die
Klein’sche Vierergruppe
Z/2Z ×Z/2Z erscheint damit als Untergruppe von C/L.
Tatsächlich entspricht ein Torus gena u den komplexen Lösungen einer kubischen
Gleichung vom Typ
y
2
= x
3
+Ax +B. Wir werden dies hier nicht zeigen, da sich un-
sere Anwendung en auf diskrete K urven beziehen. Die Entsprechung zwischen Gittern
und kubischen Gleichungen wird nicht benötigt, und wir müssten dafür elliptische
Funktionen einführen, wie sie etwa in [36] behandelt werden.
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130 Elliptische Kurven
Bildet man die Schnittmenge des Torus mit der Äquatorebene, so entstehen zwei Krei-
se. Diese liegen ineinander. Schneiden wir den äußeren Kreis auf und ziehen die End-
punkte ins Unendliche, so erhalten das Standardbild einer elliptischen Kurve über
den reellen Zahlen, wobei die Punkte auf dieser Kurve erneut einer kubischen Glei-
chung genüg en. Dabei sollten wir uns vorstellen, dass der Punkt (0, 0) auf dem Torus
jetzt ein unendlicher Fernpunkt geworden ist.
Die drei Schaubilder in Abbildung 5.1 realisieren die elliptischen Kurven (über
R)
zu den drei Gleichungen
y
2
= x
3
x +B mit B ∈{1, 0, 1}. Das mittlere Schaubild
beschreibt z. B. die Menge der Punkte
(a, b) R × R
b
2
= a
3
a
Eine solche Punktmenge nennen wir Kurve. In gewisser Weise sind es diese Kurven,
die uns a uf das eigentliche Studium der zugrunde liegenden Struktur führen. Wenn
(a, b) ein Punkt der Kurve ist, dann ist (a, b) ebenfalls ein Punkt auf der Kurve. Das
Bild sieht kaum nach einer Ellipse aus und tatsächlich ist der Zusammenhang zwi-
y
2
= x
3
x 1
y = x
3
x 1
y
2
= x
3
x
y = x
3
x
y
2
= x
3
x + 1
y = x
3
x +1
Abb. 5.1: Elliptische Kurven über R.

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