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140 Elliptische Kurven
Sei also deg
x
(f ) > 1. Dann lässt sich f schreiben als f = f
1
· f
2
,wobei
deg
x
(f
1
) und deg
x
(f
2
) beide kleiner sind als deg
x
(f ). Wir können die Induktions-
voraussetzung auf
f
1
und h anwenden. Dies liefert uns die Existenz von g
1
k[x, y]
mit f
1
· g
1
= h.Nungiltord
P
(f
2
) ord
P
(g
1
) für alle P E(k). Wieder mit Induk-
tion existiert
g
2
k[x, y] mit f
2
g
2
= g
1
. Damit erhalten wir fg
2
= f
1
f
2
g
2
=
f
1
g
1
= h.
5.1.2 Divisoren
Ein Divisor (mit nichtnegativen Koeffizienten) meint hier eine formale Summe D =
PE(k)
n
P
P,wobein
P
N für alle P gelten soll und n
P
= 0 für fast alle P ist. Die
Summe ist also endlich. Divisoren können wir addieren:
PE(k)
m
P
P
+
PE(k)
n
P
P
=
PE(k)
(m
P
+ n
P
)P
Die leere Summe mit n
P
= 0 für alle P E(k) ist das neutrale Element. Der Grad
eines Divisors
D =
Pn
P
n
P
P ergibt sich durch
deg(D) =
PE(k)
n
P
Offensichtlich ist deg(D
1
+ D
2
) = deg(D
1
) + deg(D
2
). Der Satz 5.3 ordnet jedem
Polynom
f einen eindeutigen Divisor div(f) zu:
div(f ) =
PE(k)
ord
P
(f )P
Da ord
P
(f · g) = ord
P
(f ) + ord
P
(g) gilt, folgt div(f · g) = div(f ) + div(g).Die
Divisoren vom Typ
div(f ) werden Hauptdivisoren genannt. Berechnen wir zunächst
den Hauptdivisor zu
f = x a.EsseiP = (a, b).Ista ∈{a
1
,a
2
,a
3
},sogilt
div(x a) = 2P.Füra ∈{a
1
,a
2
,a
3
} ist P P und div(x a) = P + P .Alsogilt
unabhängig von
a stets div(x a) = P +P.
Im nächsten Schritt sei
f = f(x) k[x].Danngiltf =
n
i=1
(x x
i
)
d
i
mit
deg
x
(f ) =
n
i=1
d
i
.Wählenwirzujedemi ein y
i
k mit P
i
= (x
i
,y
i
) E(k),so
lässt sich der Hauptdivisor zu
f folgendermaßen darstellen:
div(f ) =
n
i=1
d
i
(P
i
+ P
i
)
Es folgt für f k[x] die Formel
deg(f ) = 2deg
x
(f ) = deg(div(f ))
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Gruppenstruktur 141
Für einen Divisor D =
PE(k)
n
P
P definieren wir weiter D =
PE(k)
n
P
P.Offen-
sichtlich ist
deg(D) = deg(D).Seijetztf k[x, y],danngiltf(P) = f(P).Es
folgt
ord
P
(f ) = ord
P
(f)und damit div(f)= div(f ). Wir erhalten die Formel
2deg(f) = deg(N(f ))
= deg(div(N(f )))
= deg(div(f )) +deg(div(
f))
= 2deg(div(f ))
Hieraus folgt:
deg(f ) = deg(div(f ))
Ein Hauptdivisor kann also niemals den Grad 1 haben. Da für P = (a, b) E(k)
der Divisor P +P = div(xa) ein Hauptdivisor ist, sind alle Divisoren vom Typ D+D
Hauptdivisoren.
Wir untersuchen jetzt die Hauptdivisoren zu einem linearen Polynom
f = μx +
ν + γy
.DerFallγ = 0 wurde oben schon behandelt. Sei also ohne Einschränkung
γ =−1. Der Hauptdivisor berechnet sich aus den drei Schnittpunkten der Geraden
L ={(x, y) k × k |y = μx + ν} mit der elliptischen Kurv e. Die zugehörigen For-
melnfindensichinAbschnitt5.1.
Wir rechnen von nun an modulo Hauptdivisoren. Formal definieren wir eine Äqui-
valenzrelation durch
D D
, falls D + div(f ) = D
+ div(f
) für gewisse Polyno-
me
f,f
k[x, y] gilt. Mit [D] bezeichnen wir die Äquivalenzklasse von D.Ist
D
1
D
1
und D
2
D
2
,sogiltauchD
1
+D
2
D
1
+D
2
. Also bilden die Klassen ver-
möge
[D
1
]+[D
2
] = [D
1
+D
2
] ein kommutatives Monoid. Die Hauptdivisoren liegen
alle in einer Klasse, und diese ist das neutrale Element. Dieses Monoid ist sogar eine
Gruppe, denn
D + D ist ein Hauptdivisor, also gilt [D] =−[D],oderandersausge-
drückt
[D +D] = 0. Die Gruppe, die aus diesen Klassen besteht, heißt Picard-Gruppe
nach Charles Émile Picard (1856–1941) und wird mit
Pic
0
(E(k)) bezeichnet. Im Prin-
zip könnten allerdings alle Divisoren in eine Klasse gefallen sein. Wir zeigen jetzt,
dass dies nicht der Fall ist, sondern dass wir vielmehr die Picard-Gruppe
Pic
0
(E(k))
mit der elliptischen Kurve einschließlich des Fernpunktes identifizieren können.
Betrachten wir zunächst die Klasse der Hauptdivisoren. Können auch andere Di-
visoren in dieser Klasse sein? Die Antwort ist nein unddiesfolgtausLemma5.4.Denn
sei
D +div(f ) = div(h) für Polynome f,h k[x, y],danngiltord
P
(f ) ord
P
(h)
für alle P E(k) und es gibt ein Polynom g mit f · g = h. Damit ist D = div(g)
ein Hauptdivisor. Insbesondere enthält die Null-Klasse keinen Divisor vom Grad 1. Für
P E(k) ist dann [P] 0 in Pic
0
(E(k)) und die Picard-Gruppe damit nicht trivial.
Betrachten wir zwei Punkte
P,Q E(k),soist[P] [Q] gleichbedeutend mit
[P + Q] 0 .IstQ P Q, so sind die x-Koordinaten von P und Q verschieden
und es gibt genau eine Gerade durch
P und Q, die die elliptische Kurve in einem
weiteren Punkt
R schneidet. Dann ist P + Q + R ein Hauptdi visor zu einem linearen

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