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142 Elliptische Kurven
Polynom und daher [P + Q] = [R] 0.Esfolgt[P] [Q].IstQ P = Q,soist
[P +Q] = [2P] = [R] für den Schnittpunkt R der Tangente bei P mit E(k).Fürzwei
verschiedene Punkte
P,Q E(k),giltalsostets[P] [Q].Wirbenötigennochden
(unendlich fernen) Punkt
O und setzen [O] = 0.
Satz 5.5. Die Abbildung
E(k) ∪{O}Pic
0
(E(k))
P → [P ]
liefert einen kanonischen Isomorphismus abelscher Gruppen.
Beweis. Wie wir eben gesehen haben, ist die Abbilidung injektiv. Sie ist auch surjektiv.
Denn einen Divisor der Form
P +P können wir durch 0 ersetzen und zu jedem Divisor
P + Q mit P Q finden wir eine Gerade und damit einen weiteren Punkt R auf
der Kurve mit der Eigenschaft, dass
P +Q + R ein Hauptdivisor ist. Also kann P +Q
durch R ersetzt werden. Dieses Verfahren endet bei 0 und damit beim Fernpunkt oder
bei einem Divisor vom Grad 1, also einem Punkt auf der Kurve. Die Homomorphie-
Eigenschaft
P + Q → [P ] + [Q] folgt direkt aus der Konstruktion.
Die Punkte der elliptischen Kurve E(k) zusammen mit O bilden also in natürli-
cher Weise eine abelsche Gruppe. Die Formeln in Abschnitt 5.1 zeigen darüberhinaus,
dass
E(K) ={(a, b) K × K |b
2
= s(a)} zusammen mit dem Fernpunkt eine Un-
tergruppe ist. Die in Abschnitt 5.1 eingeführte Addition stimmt mit der Addition in der
Picard-Gruppe überein. Das noch ausstehende Assoziativgesetz ist also eine Konse-
quenz der Interpretation der Punkte der Kurve als Divisoren und der Interpretation
von Geraden als Hauptdivisoren. Damit ist Satz 5.1 vollständig bewiesen, denn das
Assoziativgesetz gilt für
Pic
0
(E(k)) per definitionem.
5.2 Anwendungen elliptischer Kurven
Für viele Anwendungen kann man direkt mit den elliptischen Kurven rechnen und
benötigt kein intensives Vorstudium ihrer Eigenschaften. Man kann in gewisser Wei-
se hier einsteigen, ohne Details aus dem vorigen Abschnitt zu kennen. Wir wieder-
holen daher die wichtigsten Eigenschaften der hier betrachteten Kurven. Hierfür sei
zunächst K ein Körper mit einer von 2 verschiedenen Charakteristik und es seien
A, B K mit 4 A
3
+ 27B
2
0.DievondenParameternA und B (oder vermöge
der Gleichung
Y
2
= X
3
+AX
2
+B) definierte elliptische Kur ve
7
E(K)
besteht aus den
Punkten
7
E(K) =
(x, y) K ×K
y
2
= x
3
+Ax +B
∪{O}
wobei O ein neuer Punkt der sogenannte Fernpunkt –ist.Auf
7
E(K)
existiert eine
Addition
+.Damitwird(
7
E(K),+, O) zu einer abelschen Gruppe, wobei O die Null i st

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