Finanzmathematik, 6th Edition

Multiplizieren wir diese Gleichung mit q, so entsteht

$qx=1q^{n-1}+2q^{n-2}+3q^{n-3}+\dots +\left(n-1\right)q^1.$

Zieht man hiervon die vorige Gleichung ab, so erhält man unter Verwendung der Summenformel für die geometrische Reihe

$\begin{array}{l}qx-x=q^{n-1}+q^{n-2}+q^{n-3}+\dots +q^1-\left(n-1\right)\\ =q^0+q^1+q^2+\dots +q^{n-1}-n\\ =\frac{q^n-1}{i}-n\end{array}$

und

$x=\frac{1}{i}\left(\frac{q^n-1}{i}-n\right).$

Setzt man nun alles wieder in (2.49) ein, dann kommt man zu der oben angegebenen Endwertgleichung (2.48).

Beispiel 61. Hans zahlt am Jahresende 1.000€ auf ein Konto, das mit 5%verzinst wird. Ferner zahlt er am Ende jedes folgenden Jahres einen Betrag, der jeweils 300 € über dem Vorjahreswert liegt. Wie groß ist ...