64 4 Boolesche Algebra und Schaltalgebra
4.1.2 Schaltalgebra als Modell einer zweielementigen
Booleschen Algebra
Die gesamte Informationstechnologie basiert im Kern auf der Speicherung, Übertragung und
Verarbeitung von lediglich zwei unterschiedlichen Signalzuständen. Naiv werden diese oft
mit der Interpretation „Strom an“ und „Strom aus“ verbunden. Das Signal für „Strom aus“
wird dann sehr anschaulich mit dem Leitwert „0“ und das Signal für „Strom an“ mit dem
Wert „1“ einer entsprechenden Signalleitung interpretiert. Dem informatikinteressierten
Leser ist bekannt, dass die Realisierung dieser Leitwerte in einem Mikroprozessor durch
zwei unterschiedliche Spannungszustände erfolgt. Im Bereich der Datenspeicherung können
0 und 1 durch unterschiedliche Magnetisierungszustände der Festplatte interpretiert werden
oder durch eine via Laser auf eine CD oder DVD gebrannte Markierung.
Letztendlich kann es uns im Rahmen der theoretischen Aufarbeitung dieses Themas egal
sein, auf welche Art und Weise die Signalzustände 0 und 1 zur Speicherung oder Verarbei-
tung von Daten realisiert werden. Die grundlegenden Konzepte der Schaltalgebra sind davon
völlig unabhängig, sie gehen lediglich davon aus, dass diese zwei unterschiedlichen Zustände
des Signals, im folgenden Schaltzustände genannt, durch Schaltelemente dargestellt und
verarbeitet werden können.
Wegen der Fähigkeit, genau zwei Schaltzustände verarbeiten zu können, bezeichnen wir
diese Schaltelemente auch als bistabile Schaltelemente. In der Praxis könnten dies Schalter,
Relais, Dioden, Transistoren oder Halbleiterbauelemente in einem integrierten Schaltkreis
(Mikrochip) sein. Die Menge M unserer Booleschen Elemente kann somit – wie im Kontext
der Aussagenlogik – auf die zwei Schaltzustände bistabiler Schaltelemente reduziert werden.
Schaltkonstanten
Sei M = = {0, 1}; Wir nennen 0 und 1 dann Schaltkonstanten.
Schaltvariable, Schaltfunktion, Schaltung
Eine Variable, welche genau zwei Werte annehmen kann, heißt binäre Schaltvariable. Seien
a
1
, a
2
, ...., a
n
binäre Schaltvariablen. Die Abbildung f:
n
mit
(a
1
, a
2
, ...., a
n
) f(a
1
, a
2
, ...., a
n
) heißt binäre Schaltfunktion. Die technische Realisierung
einer binären Schaltfunktion bezeichnet man als Schaltung.
Nach Definition der Grundmenge M wollen wir uns den Verknüpfungen der Schaltalgebra
zuwenden. Hierbei ist es hilfreich, zur Verifikation der Plausibilität der Booleschen Axiome
im aktuellen Modell auf eine einfache technische Realisierung der Schaltelemente zurückzu-
greifen. Wir wollen dies auf der Basis von Schaltern in einem Stromkreis mit einer Batterie
und einer dadurch gespeisten Glühbirne tun. Diese Schalter können entweder offen sein, was
dann dem Schaltwert „0“ entspricht oder geschlossen, womit wir den Schaltwert „1“ haben.
Grafisch erfolgt die Darstellung mit den in der Schaltertechnik üblichen Symbolen.
4.1 Boolesche Algebren 65
Abb. 4.1: Einfacher Stromkreis mit Schalter
Der Schalter zwischen den Kontaktpunkten x und y kann nun geschlossen oder offen sein. Je
nach Schalterstellung ist die Glühlampe dann an oder aus. Hier heraus lassen sich die Grund-
symbole der Schaltertechnik für 0 und 1 ableiten.
Schaltwert Grafische Darstellung Schaltzustand
0
Offen
1
Geschlossen
Abb. 4.2: Grundsymbole der Schaltertechnik für 0 und 1
Für die Wahl der Verknüpfungszeichen greifen wir zum Teil auf die bekannten Symbole
und der Aussagenlogik zurück. Zur Negation einer Variablen werden wir das Apostroph
(’) verwenden. Hier ist jedoch auch der im Bereich der Mengenalgebra verwendete Über-
strich (
) üblich.
Das Boolesche Produkt lässt sich nun sehr einfach durch eine Reihenschaltung realisieren.
Wird untenstehende Schalterkonstellation zwischen den Kontaktpunkten x und y von Abbil-
dung 4.1 eingebaut, brennt die Lampe nur, wenn Schalter a und Schalter b geschlossen sind.
In allen anderen Fällen brennt sie nicht.
Schaltfunktion
(a, b) a b
Abb. 4.3: “und“-Verknüpfung als Reihenschaltung
Spannungsquelle
Glühlampe
Schalter
x
y
a b

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