Microsoft Excel: Formeln & Funktionen - Das Maxibuch, 2., aktualisierte und erweiterte Auflage

Kapitel 11 Statistische Funktionen

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HARMITTEL()

HARMEAN()

Syntax HARMITTEL(Zahl1;Zahl2;...)

Definition Die Funktion HARMITTEL() gibt das harmonische Mittel einer Datenmenge zurück. Ein har-

monisches Mittel ist der Kehrwert eines aus Kehrwerten berechneten arithmetischen Mittels.

Argumente Zahl1 (erforderlich); Zahl2 (optional); ... sind 1 bis 255 Argumente (30 bis Excel 2003), deren

harmonisches Mittel berechnet werden soll. Anstelle der durch Semikola voneinander getrenn-

ten Argumente können Sie auch eine einzelne Matrix oder einen Bezug auf eine Matrix angeben.

Hinweis Als Argumente müssen entweder Zahlen oder Namen, Matrizen oder Bezüge angegeben werden,

die Zahlen enthalten.

Enthält ein als Matrix oder Bezug angegebenes Argument Text, Wahrheitswerte oder leere Zellen,

werden diese Werte ignoriert. Zellen, die den Wert 0 enthalten, werden dagegen berücksichtigt.

Ist eine der Zahlen kleiner oder gleich 0, gibt HARMITTEL() den Fehlerwert #ZAHL! zurück.

Hintergrund

In der Statistik existieren verschiedene Mittelwerte, zu denen, neben dem geometrischen,

dem arithmetischen und dem quadratischen Mittel auch das harmonische Mittel gehört. An

dieser Stelle betrachten wir das harmonische Mittel näher.

Das harmonische Mittel findet vor allem dann Anwendung, wenn Mittelwerte von Quotien-

ten gebildet werden müssen, und es dient als Lagemaß, wenn die Beobachtungswerte zum

einen Verhältniszahlen und zum anderen durch einen Bezug auf eine Einheit definiert sind.

Ein typisches Beispiel ist die Mittelung von Geschwindigkeiten, das heißt die Errechnung des

Quotienten von Weg/Zeit unter der Voraussetzung, dass die Wegstrecken bekannt sind.

Die Gleichung für das harmonische Mittel lautet:

Wichtig Das harmonische Mittel einer Zahlenmenge ist immer kleiner als deren geometrisches Mittel, das

wiederum immer kleiner ist als das zugehörige arithmetische Mittel.

Praxiseinsatz

Um Ihnen die Errechnung und Bedeutung des harmonischen Mittels aufzuzeigen, halten wir

uns in diesem Beispiel an die oben bereits erwähnte, typische Darstellung des harmonischen

Mittels unter Verwendung der Komponenten Geschwindigkeit und Zeit.

Ein Radfahrer macht eine Tour durch die Alpen und fährt eine 300 Kilometer lange Strecke.

Die Strecke gliedert er in fünf Teilstrecken, in denen er jeweils die Geschwindigkeiten des

Fahrrads misst.

Nun möchte der Radfahrer aus den fünf Teildurchschnittsgeschwindigkeiten die Gesamtdurch-

schnittsgeschwindigkeit errechnen. Mit dem Ergebnis möchte er sich die Frage beantworten,

mit welcher konstanten Geschwindigkeit er die Strecke in der gleichen Zeit geschafft hätte.

111

y

i

Hny

=

∑

HARMITTEL()

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Abbildung 11.46: Die Berechnung der Gesamtdurchschnittsgeschwindigkeit über die Funktion HARMITTEL()

Für den besseren Überblick hat er gleichzeitig auch die ihm bereits bekannten Mittelwerte

Arithmetisches Mittel und Geometrisches Mittel errechnet.

Um herauszubekommen, welche der Mittelwertberechnungen das für ihn sinnvollste Ergeb-

nis liefert, wandelt er die Ergebnisse des arithmetischen, geometrischen und harmonischen

Mittels auf Meter/Sekunde um und errechnet anschließend, wie lange er mit dieser Durch-

schnittsgeschwindigkeit für seine bereits zurückgelegten 300 km gebraucht hätte.

Abbildung 11.47: Die Zeit in Sekunden für 300 km für das arithmetische, geometrische und harmonische Mittel

Mit dieser Berechnung ist auch die Aussage bestätigt, dass das geometrische Mittel kleiner ist

als das harmonische Mittel und das arithmetische Mittel kleiner als das geometrische.

Um zu zeigen, dass hier tatsächlich das harmonische Mittel das sinnvollste Ergebnis liefert,

treten wir den Beweis an.

Hierfür muss man zunächst die Geschwindigkeit v in m/s für die tatsächlich möglichen Kilo-

meter bei geleisteter Geschwindigkeit v für die einzelnen gefahrenen Streckenabschnitte in

einer Stunde berechnen. Für den ersten Streckenabschnitt würde dies bedeuten (wie Sie der

Abbildung 11.48 entnehmen können), dass bei gleichbleibender Geschwindigkeit 20 Kilome-

ter pro Stunde hätten gefahren werden können. Teilt man diese 20 Kilometer nun durch

3.600 Sekunden, erhält man die Geschwindigkeit v.

Die Formel hierfür lautet:

s

v

t

=

Kapitel 11 Statistische Funktionen

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Abbildung 11.48: Berechnung der Geschwindigkeit v in m/s ausgehend von der ursprünglich möglichen Strecke

Anschließend nimmt man das Ergebnis für die Geschwindigkeit in m/s und errechnet mit glei-

cher Formel, aufgelöst nach t (Zeit), den entsprechenden Zeitaufwand für die einzelnen

geplanten Streckenabschnitte in Sekunden. Die oben genannte Formel, aufgelöst nach t, lautet

dann:

Das Ergebnis dieser Berechnung können Sie der Abbildung 11.49 entnehmen.

Abbildung 11.49: Zeitaufwand für die Streckenabschnitte in Sekunden und als Summe

Die Summe der Zeiten in Sekunden für die einzelnen Streckenabschnitte zeigt, dass der Wert

annähernd dem des harmonischen Mittels entspricht. Die Differenz von drei Sekunden

ergibt sich aus den gerundeten Werten.

Vergleicht man das tatsächliche Ergebnis von 50.417,94 Sekunden mit den oben errechneten

Ergebnissen der verschiedenen Mittelwerte, so erkennt man, dass in diesem Beispiel das har-

monische Mittel am besten zu gebrauchen ist.

Siehe auch GEOMITTEL(), GESTUTZMITTEL(), MEDIAN(), MITTELWERT(), MODALWERT()

CD-ROM Dieses Beispiel finden Sie auf der CD-ROM zum Buch im Ordner Buch\Kap11 in den Arbeitsmappen

Mittelwert.xls (Excel 97-2003) bzw. Mittelwert.xlsx (Excel 2007/2010) auf dem Arbeitsblatt Harmittel.

s

t

v

=