Microsoft Excel: Formeln & Funktionen - Das Maxibuch, 2., aktualisierte und erweiterte Auflage

KOVAR()

453

Wie Sie der Abbildung 11.65 entnehmen können, lässt sich auch ohne Korrelationskoeffizienten

bereits eine Abhängigkeit zwischen den Komponenten Webseitenzugriff und Bestellungen fest-

stellen.

Die Berechnung über die Funktion KORREL() liefert den Beweis, wie in Abbildung 11.64

dargestellt.

Der Korrelationskoeffizient in Höhe von 0,89 zeigt einen positiven, sehr engen Zusammen-

hang zwischen den beiden Zahlenreihen auf. Anders ausgedrückt bedeutet das, erhöht sich

die Anzahl der Webseitenzugriffe, beispielsweise durch verschiedene Marketingaktionen,

steigt auch die Anzahl der Bestellungen über das Web.

Siehe auchFISHER(), FISHERINV(), KOVAR(), KOVARIANZ.P(), KOVARIANZ.S()

CD-ROMDieses Beispiel finden Sie auf der CD-ROM zum Buch im Ordner Buch\Kap11 in den Arbeitsmappen

Regression.xls (Excel 97-2003) bzw. Regression.xlsx (Excel 2007/2010) auf dem Arbeitsblatt Korrel.

KOVAR()

COVAR()

HinweisDie Funktion KOVAR() wird in Microsoft Excel 2010 durch die Funktionen KOVARIANZ.P() und KOVA-

RIANZ.S() ersetzt. Damit wird das Ergebnis bzw. die Genauigkeit der Funktionen erhöht. Um die

Abwärtskompatibilität von KOVARIANZ.P() und KOVARIANZ.S() zu sichern, ist die Funktion KOVAR()

weiter unter ihrem alten Namen verfügbar.

Syntax

KOVAR(Matrix1;Matrix2)

DefinitionDie Funktion KOVAR() gibt die Kovarianz zweier Wertepaare zurück. Sie gibt Auskunft über

den Zusammenhang zwischen zwei Datengruppen. So können Sie z.B. ermitteln, ob der ver-

mehrte Eingang von Online-Bestellungen auf Ihrer Website mit der Anzahl der Webseiten-

zugriffe zusammenhängt. Zur Berechnung der Kovarianz wird die jeweilige Abweichung aller

Wertpaare zwischen tatsächlichem Wert und dem Mittelwert miteinander multipliziert und

anschließend daraus der Mittelwert daraus gebildet.

ArgumenteMatrix1 (erforderlich) ist der erste Zellbereich, dessen Zellen mit ganzen Zahlen belegt sind.

Matrix2 (erforderlich) ist der zweite Zellbereich, dessen Zellen mit ganzen Zahlen belegt

sind.

HinweisAls Argumente sollten entweder Zahlen oder Namen, Matrizen bzw. Bezüge angegeben werden, die

Zahlen enthalten.

Enthält ein als Matrix oder Bezug angegebenes Argument Text, Wahrheitswerte oder leere Zellen,

werden diese Werte ignoriert. Zellen, die den Wert 0 enthalten, werden dagegen berücksichtigt.

Verfügen Matrix1 und Matrix2 nicht über dieselbe Anzahl von Datenpunkten, gibt die Funktion

KOVAR() den Fehlerwert #NV zurück.

Ist eine der beiden Matrizen Matrix1 oder Matrix2 leer, gibt KOVAR() den Fehlerwert #DIV/0! zurück.

Hintergrund

Die Kovarianz beschreibt den Zusammenhang zwischen zwei statistischen Merkmalen x und y

durch die Bezeichnungen positiv und negativ. Das heißt, es wird die Richtung der Abhängigkeit

zwischen den beiden Merkmalen aufgezeigt. Die Kovarianz kann jeden reellen Wert annehmen.

Kapitel 11 Statistische Funktionen

454

Welche Aussagen können nach Berechnung der Kovarianz getroffen werden?

씰

Ist die Kovarianz positiv, besitzen x und y tendenziell einen gleichsinnigen linearen

Zusammenhang. Das bedeutet, liegen hohe Werte von x vor, liegen auch hohe Werte von

y vor. Das Gleiche gilt bei niedrigen Werten. In einem Schaubild liefe die Punktwolke von

links unten nach rechts oben.

씰

Ist die Kovarianz negativ, weisen x und y einen gegensinnigen linearen Zusammenhang

auf. Das bedeutet, dass hohe Werte der einen Zufallsvariablen mit niedrigen Werten der

anderen Zufallsvariablen einhergehen. In einem Schaubild liefe die Punktwolke von links

oben nach rechts unten.

씰

Ist das Ergebnis 0, besteht kein Zusammenhang oder eine U-förmige Beziehung zwischen

den beiden Variablen x und y

Die Kovarianz gibt zwar die Richtung einer Beziehung zwischen zwei Variablen an, über die

Stärke des Zusammenhangs jedoch wird keine Aussage getroffen. Ausschlaggebend dafür ist die

Abhängigkeit der berechneten Kovarianz von den Maßeinheiten der beteiligten Variablen x und

y. Ist die Kovarianz zweier Variablen mit der Maßeinheit »Meter 5,2«, so ist die Kovarianz der

gleichen Werte in der Maßeinheit Zentimeter »520«. Die Kovarianz ist also maßstabsabhängig.

Hinweis Die Kovarianz ist als Maßzahl für den stochastischen Zusammenhang nur wenig anschaulich und auch

schwer vergleichbar. Um einen Zusammenhang vergleichbar zu machen, kann man die Kovarianz

standardisieren. Man erhält dann die Korrelation – sprich eine Beziehung zwischen zwei oder mehr

quantitativen statistischen Variablen, deren Maßzahl sich zwischen +1 (perfekter linearer Zusammen-

hang), 0 (gar kein linearer Zusammenhang) und –1 (perfekter gegensätzlicher linearer Zusammen-

hang) bewegt.

Zwischen der Kovarianz und den beiden Standardabweichungen kann man folgende wich-

tige generelle Beziehung herleiten.

씰

Sind n Wertepaare (x

1

, y

1

), (x

2

, y

2

), … , (x

n

, y

n

) mit den Standardabweichungen s

x

und s

y

und der Kovarianz s

xy

gegeben, dann gilt, dass die Kovarianz dem Betrage nach höchstens

so groß wie das Produkt der Standardabweichungen ist

씰

Die obere Grenze wird genau dann erreicht, wenn zwischen x

i

und y

i

eine perfekte lineare

Abhängigkeit besteht, mit irgendwelchen festen Zahlen a und b

Die Kovarianz wird wie folgt berechnet:

Dabei sind x und y die Stichprobenmittelwerte MITTELWERT(Array1) und MITTEL-

WERT(Array2) und n ist der Stichprobenumfang.

Praxiseinsatz Bleiben wir bei dem Beispiel des Softwareunternehmens, das auf der firmeneigenen Website

alle vom Unternehmen angebotenen Produkte verkauft und, um den Verkauf anzukurbeln,

deshalb regelmäßig Newsletter verschickt.

()

()()

1

1

,

n

i

y

i

y

i

KOVAR X Y x y

n

−

=−μ−μ

∑