Microsoft Excel: Formeln & Funktionen - Das Maxibuch, 2., aktualisierte und erweiterte Auflage

LOGNORM.VERT() / LOGNORMVERT()

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Die Berechnung von LOGNORM.INV() sehen Sie in Abbildung 11.71.

Abbildung 11.71: Die Berechnung von LOGNORM.INV()

Unter Angabe der in Abbildung 11.71 dargestellten Parameter gibt die Funktion LOG-

NORM.INV() die Quantile der Lognormalverteilung in Höhe von 4,000025 zurück.

Siehe auchEXP(), LN(), LOG(), LOG10(), LOGNORM.VERT()

CD-ROMDieses Beispiel finden Sie auf der CD-ROM zum Buch im Ordner \Buch\Kap11 in den Arbeitsmappen

Wahrscheinlichkeit.xls auf dem Arbeitsblatt Loginv (Excel 97-2003) bzw. Wahrscheinlichkeit.xlsx (Excel

2007/2010) auf dem Arbeitsblatt Lognorm.inv.

LOGNORM.VERT() / LOGNORMVERT()

LOGNORM.DIST() / LOGNORMDIST()

SyntaxLOGNORM.VERT(x;Mittelwert;Standabwn;Kumuliert)

DefinitionDie Funktion LOGNORM.VERT() gibt Werte der Verteilungsfunktion einer lognormalver-

teilten Zufallsvariablen zurück, wobei ln(x) normalverteilt ist mit den Parametern Mittelwert

und Standabwn. Mit dieser Funktion können Sie Daten untersuchen, die logarithmisch

transformiert wurden.

Argumentex (erforderlich) ist der Wert, für den die Funktion ausgewertet werden soll.

Mittelwert (erforderlich) ist der Mittelwert der Lognormalverteilung.

Standabwn (erforderlich) ist die Standardabweichung der Lognormalverteilung.

Kumuliert (erforderlich) ist der Wahrheitswert, der den Typ der Funktion bestimmt.

HinweisIst eines der Argumente kein numerischer Ausdruck, gibt die Funktion LOGNORM.VERT() den Fehler-

wert #WERT! zurück.

Ist x kleiner oder gleich 0 oder Standabwn kleiner oder gleich 0, gibt LOGNORM.VERT() den Fehler-

wert #ZAHL! zurück.

Hintergrund

Die Funktion LOGNORM.VERT() liefert die Wahrscheinlichkeiten einer logarithmisch nor-

malverteilten Zufallsvariablen. Sie können mit dieser Funktion Wahrscheinlichkeitsverteilun-

gen betrachten, bei denen nicht die Zufallsvariable selbst, sondern ihr natürlicher Logarithmus

normalverteilt ist.

Die Lognormalverteilung ist formelmäßig der Normalverteilung ähnlich, hat jedoch einen

Logarithmus im Exponenten. Sie ist rechtsschief, das heißt, sie steigt stark an und fällt dann

langsamer wieder ab (siehe Abbildung 11.72).

Kapitel 11 Statistische Funktionen

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Gilt also eine Zufallsvariable als lognormalverteilt, dann ist folglich ihr Logarithmus normal-

verteilt. Kennzeichnend für eine lognormalverteilte Variable ist, dass unendlich viele Ein-

flüsse multiplikativ auf sie einwirken.

Häufig sind Einkommen lognormalverteilt. Einer der Gründe hierfür liegt in der normaler-

weise prozentualen Einkommenserhöhung. Große Einkommen werden auf diese Weise stark

erhöht, kleinere Einkommen nur wenig. Im Laufe der Zeit verbleiben die vielen kleineren

Einkommen unten, während die wenigen großen nach oben wegdriften. Deshalb entsteht die

rechtsschiefe Verteilung. Das Logarithmieren überführt die multiplikative Struktur in eine

additive. Die logarithmierten Werte sind dann normalverteilt.

Ein weiterer Grund für die lognormalverteilte Einkommensstruktur ist, dass es viel weniger

hochdotierte Positionen gibt. Die Masse der Arbeitsplätze sind mit mehr oder weniger gerin-

gem Einkommen belegt, wobei besonders niedrige Einkommen wieder seltener werden.

Diese Tatsache entspricht genau dem Verlauf der meisten Lognormalverteilungen.

Die Lognormalverteilung mit den Parametern μ und σ2 ist auf den positiven reellen Zahlen

durch die folgende Wahrscheinlichkeitsdichte erklärt.

Die grafische Darstellung der Wahrscheinlichkeitsdichte der Lognormalverteilung sehen Sie

in Abbildung 11.72.

Abbildung 11.72: Wahrscheinlichkeitsdichte der Lognormalverteilung mit μ = 0 und σ = 1

Die Gleichung für die Verteilungsfunktion einer logarithmischen Normalverteilung lautet:

()

()

()

2

2

ln

2

11

2

x

fx e

x

−μ

−

σ

=

σπ

()

()

ln

.,, .

x

LOGNORM VERT x NORM VERT

⎛⎞

−μ

μσ =

⎜⎟

σ

⎝⎠