Microsoft Excel: Formeln & Funktionen - Das Maxibuch, 2., aktualisierte und erweiterte Auflage

Kapitel 11 Statistische Funktionen

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Siehe auch KORREL(), ACHSENABSCHNITT(), BESTIMMTHEITSMASS(), RGP(), STEIGUNG(),

STFEHLERYX()

CD-ROM Dieses Beispiel finden Sie auf der CD-ROM zum Buch im Ordner \Buch\Kap11 in den Arbeitsmappen

Regression.xls (Excel 97-2003) bzw. Regression.xlsx (Excel 2007/2010) auf dem Arbeitsblatt Pearson.

POISSON.VERT() / POISSON()

POISSON.DIST() / POISSON()

Syntax POISSON.DIST(x; Mittelwert;kumuliert)

Definition Die Funktion POISSON.VERT() gibt Wahrscheinlichkeiten einer poissonverteilten Zufalls-

variablen zurück. Eine übliche Anwendung der Poissonverteilung ist die Modellierung der

Anzahl der Ereignisse innerhalb eines bestimmten Zeitraums, beispielsweise die Anzahl der

in einem Call-Center eingehenden Anrufe innerhalb einer Stunde, die einen sofortigen Vor-

orteinsatz mit sich bringen.

Argumente x (erforderlich) ist die Zahl der Fälle.

Mittelwert (erforderlich) ist der erwartete Zahlenwert.

kumuliert (erforderlich) ist der Wahrheitswert, der den Typ der Funktion bestimmt. Ist

kumuliert mit WAHR belegt, gibt POISSON.VERT() den Wert der Verteilungsfunktion der

jeweiligen Poissonverteilung zurück, also die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl zufällig

eintretender Ereignisse zwischen 0 und einschließlich x liegt. Ist kumuliert mit FALSCH

belegt, gibt POISSON.VERT() den Wert der Wahrscheinlichkeitsfunktion zurück, also die

Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Ereignisse genau x sein wird.

Hinweis Ist x keine ganze Zahl, werden die Nachkommastellen abgeschnitten.

Ist x oder Mittelwert kein numerischer Ausdruck, gibt POISSON.VERT() den Fehlerwert #WERT! zurück.

Ist x kleiner 0, gibt POISSON.VERT() den Fehlerwert #ZAHL! zurück.

Ist Mittelwert kleiner oder gleich 0, gibt POISSON.VERT() den Fehlerwert #ZAHL! zurück.

Hintergrund Die Funktion POISSON.VERT(), benannt nach Denis Poisson (1781 bis 1840), liefert Wahrschein-

lichkeiten einer poisson-verteilten Zufallsvariable. Die Poisson-Verteilung ist ein besonderes Modell

für die Häufigkeit eines sogenannten »seltenen Ereignisses«. Sie beschreibt das Eintreffen voneinan-

der unabhängiger, gleichartiger, seltener Ereignisse in einer großen Anzahl von Elementen.

Ein Beispiel wäre das Eintreffen von Kunden an einem Schalter oder das Eingehen von Tele-

fonanrufen.

Die Poisson-Verteilung eignet sich besonders für Wahrscheinlichkeitsverteilungen, bei denen

sehr viele Ergebnisse aus einer Stichprobe vorliegen und die Wahrscheinlichkeit, dass das zu

untersuchende Ereignis eintritt, sehr klein ist.

Hier nähert sich die Poisson-Verteilung nämlich der Binomialverteilung an. Im Gegensatz

zur Binomialverteilung benötigt die Poisson-Verteilung (abgesehen von x) jedoch nur einen

Parameter – den Erwartungswert bzw. das Argument Mittelwert.

Für kleine Erfolgswahrscheinlichkeiten kann die Binomialverteilung also durch die Poisson-

Verteilung angenähert werden. D.h. sie gilt, wenn die durchschnittliche Anzahl der Ereignisse

das Ergebnis einer sehr großen Zahl von Ereignismöglichkeiten und einer sehr kleinen Ereig-

niswahrscheinlichkeit ist.

POISSON.VERT() / POISSON()

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Als Beispiel hierzu wird oft der radioaktive Zerfall erwähnt. Aus einer sehr großen Anzahl

von Atomen zerfällt in einer Zeiteinheit nur ein sehr kleiner Anteil der Atome. Dieser Zerfall

ist rein zufällig und unabhängig von den schon zerfallenen Atomen. Dies ist eine wesentliche

Voraussetzung für die Poisson-Verteilung.

Wie bereits erwähnt, geht das Poisson-Modell davon aus, dass das Ereignis sehr selten inner-

halb eines bestimmten Zeitintervalls auftritt. Es ist dabei aber dennoch nur von der Länge

des Intervalls und nicht von der Lage auf der Zeitachse abhängig.

Über die Poisson-Verteilung lässt sich also die Fehlerwahrscheinlichkeit bzw. ein Ereignis pro

Einheit ermitteln.

Die Funktion POISSON.VERT() berechnet die folgenden Formeln.

Für kumuliert = FALSCH:

Für kumuliert = WAHR:

Diese Formeln werden durch die Funktion POISSON.VERT() ersetzt mit x = Zahl der Fälle

und Mittelwert = erwarteter Zahlenwert. Das Argument kumuliert bestimmt, ob genau der

Mittelwert (kumuliert = FALSCH) oder höchstens der Mittelwert (kumuliert = WAHR)

erreicht werden soll.

PraxiseinsatzStellen Sie sich vor, Sie sind Reifenhändler. Sie haben eine eigene »Hausmarke«, deren Quali-

tät Sie über längere Zeit analysiert haben. Es hat sich herausgestellt, dass bei dem PKW-

Reifentyp Ihrer Hausmarke pro 100.000 gefahrenen Kilometern durchschnittlich vier Reifen-

schäden auftreten.

.VERT

!

x

e

POISSON

x

−λ

λ

=

0

!

x

x

k

e

CUMPOISSON

k

λ

=

λ

= ∑

Abbildung 11.100: Die Analyse der Reifen ergibt

eine Fehlerquote von 4 auf 100.000 Kilometer

Kapitel 11 Statistische Funktionen

500

Die vier Ereignisse, also die Reifenschäden, sind im Vergleich zum Intervall, den 100.000

Kilometern, ein recht seltenes Ereignis. Deshalb gilt hier die Poisson-Verteilung.

Sie stellen sich folgende Frage:

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nur genau drei Reifenschäden auf 100.000 km auf-

treten?

Sie haben folgende Werte für die Funktion POISSON.VERT() notwendigen Argumente:

씰

x = 3 (Zahl der Ereignisse, die Sie untersuchen möchten)

씰

Mittelwert = 4 (Zahl der erwarteten Ereignisse)

씰

kumuliert = FALSCH, da Sie die Wahrscheinlichkeit errechnen möchten, mit der genau

die Anzahl der Ereignisse x eintritt

Das Ergebnis stellt sich wie in Abbildung 11.101 dar.

Mithilfe der Berechnung über die Funktion POISSON() ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit

von 19,54 %, dass genau drei Reifenschäden auf 100.000 Kilometer eintreten.

Möchten Sie wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass die Anzahl der Reifenschäden

auf 100.000 km zwischen 0 und einschließlich x, also 3, liegt, verwenden Sie für das Argu-

ment kumuliert den Wahrheitswert WAHR. Vergleichen Sie dazu die Abbildung 11.102.

Die Berechnung über die Funktion POISSON.VERT() liefert eine Wahrscheinlichkeit von

43,35 %, dass 0 bis 3 Reifenschäden auf 100.000 Kilometer eintreten.

Siehe auch EXPON.VERT()

CD-ROM Dieses Beispiel finden Sie auf der CD-ROM zum Buch im Ordner \Buch\Kap11 in den Arbeitsmappen

Wahrscheinlichkeit.xls (Excel 97-2003) auf dem Arbeitsblatt Poisson bzw. Wahrscheinlichkeit.xlsx (Excel

2007/2010) auf dem Arbeitsblatt Poisson.vert.

Abbildung 11.101: Berechnen Sie die

Wahrscheinlichkeit für genau drei Ereignisse

Abbildung 11.102: Berechnen Sie die

Wahrscheinlichkeit für 0 bis 3 Ereignisse