Praktische Lineare Algebra für Data Science

Kapitel 9. Orthogonale Matrizen und QR-Zerlegung

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In diesem Buch lernst du fünf wichtige Zerlegungen kennen: die orthogonale Vektorzerlegung, die QR-Zerlegung, die LU-Zerlegung, die Eigenwertzerlegung und die Singulärwertzerlegung. Das sind nicht die einzigen Zerlegungen in der linearen Algebra, aber sie sind die wichtigsten für Data Science und maschinelles Lernen.

In diesem Kapitel lernst du die QR-Matrix kennen. Dabei lernst du auch eine neue Art von Matrix kennen (orthogonal). Die QR-Zerlegung ist ein Arbeitspferd, das Anwendungen wie die Umkehrung der Matrix, die Anpassung von Modellen der kleinsten Quadrate und die Eigenwertzerlegung ermöglicht. Wenn du die QR-Zerlegung verstehst und dich mit ihr vertraut machst, kannst du deine Fähigkeiten in der linearen Algebra verbessern.

Orthogonale Matrizen

Ich beginne damit, dir orthogonale Matrizen vorzustellen. Eine orthogonale Matrix ist eine spezielle Matrix, die für verschiedene Zerlegungen wichtig ist, z. B. für die QR-Zerlegung, die Eigenwertzerlegung und die Singulärwertzerlegung. Der Buchstabe $𝐐$ wird oft verwendet, um orthogonale Matrizen zu bezeichnen. Orthogonale Matrizen haben zwei Eigenschaften:

Orthogonale Spalten

Alle Spalten sind paarweise orthogonal.

Spalten mit Einheitsnorm

Die Norm (geometrische Länge) jeder Spalte ist genau 1.

Wir können diese beiden Eigenschaften in einen ...