Produktionsmanagement, 11th Edition

Aufgabe 3.2-3

1.Produktionsfunktion:

$x=\sqrt{r_1\cdot r_2}$

Kostenfunktion (in Abhängigkeit von r):

$128=8r_1+2r_2$

Gesucht: x

Minimalkostenkombination:

$\begin{array}{l}\frac{\frac{\partial x}{\partial r_1}}{\frac{\partial x}{\partial r_2}}=\frac{p_1}{p_2}\\ \frac{\partial x}{\partial r_1}=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{r_2}}{\sqrt{r_1}}\\ \frac{\partial x}{\partial r_2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{r_1}}{\sqrt{r_2}}\\ \frac{r_2}{r_1}=\frac{p_2}{p_1}=\frac{8}{2}=4\\ r_2=4r_1\end{array}$

Einsetzen in Kostenfunktion:

$\begin{array}{l}128=8r_1+2\cdot \left(4r_1\right)=16r_1\\ r_1=8;r_2=32;\\ \Rightarrow x=\sqrt{8\cdot 32}=16\end{array}$

2.Steigung erhöht sich um 2 wegen Δp1

$\begin{array}{l}\frac{r_2}{r_1}=\frac{p_1}{2}=4+2\\ \Rightarrow p_1=12\\ r_2=6r_1;r_1=\frac{r_2}{6}\\ K=12r_1+2r_2\\ r_1={\left(\frac{x}{\sqrt{r_2}}\right)}^2\end{array}$

Einsetzen von

$r_2=6r_1\text{und}x=16$

(Da gleiche Produktionsmenge wie in Teilaufgabe 1 gefordert ist):

$\begin{array}{l}{r}_1={\left(\frac{16}{\sqrt{6r_1}}\right)}^2\\ \sqrt{r_1}=\frac{16}{\sqrt{6r_1}}\\ \sqrt{6r_1^2}=16\\ r_1^2=\frac{{16}^2}{6}\\ r_1=\sqrt{\frac{{16}^2}{6}}=\frac{8\cdot \sqrt{6}}{3}\approx 6,53\end{array}$

Einsetzen von r1 in r2 = 6r1:

$r_2=6\frac{8\cdot \sqrt{6}}{3}=16\sqrt{6}\approx 39,19$

Berechnen des neuen Budgets:

$K=12\frac{8\cdot \sqrt{6}}{3}+2\cdot 16\sqrt{6}=64\cdot \sqrt{6}\approx 156,78$

Budgeterhöhung: 156, 78 − 128 = 28, 78

Aufgabe 3.3-1

1.Grenzertragsfunktion: