Quantitative Methoden der Wirtschaftswissenschaften, 4th Edition

$\left(x_1,x_2,x_3\right)\mapsto \left(y_1,y_2\right)=f\left(x_1,x_2,x_3\right)\mapsto \left(z_1,z_2,z_3,z_4\right)=g\left(y_1,y_2\right).$

Aus drei Inputfaktoren werden zwei Zwischenprodukte gefertigt, die ihrerseits zu vier Endprodukten weiterverarbeitet werden. Wie der folgende Satz zeigt, genügt es, die Verkettung zweier Abbildungen zu untersuchen. Mehrfache Verkettungen folgen daraus induktiv.

Satz 2.18. Gegeben seien die differenzierbaren Abbildungen

$f:{\mathbb{D}}_f\to {ℝ}^{m}undg:{\mathbb{D}}_g\to {ℝ}^k$

mit den offenen Definitionsmengen 𝔻f ⊆ ℝn bzw. 𝔻g ⊆ ℝm und mit f(𝔻f )⊆ 𝔻g. Dann ist die Verkettung der beiden Abbildungen

$g\circ f:{\mathbb{D}}_f\to {ℝ}^{k}mit\overrightarrow{x}\mapsto \left(g\circ f\right)\left(\overrightarrow{x}\right)=g\left(f\left(\overrightarrow{x}\right)\right)$

differenzierbar, und es gilt

${\left(g\circ f\right)}^{\prime }($