Quantitative Methoden der Wirtschaftswissenschaften, 4th Edition

Definition 2.24. Sei A eine (n × n)-Matrix. Dann heißt die Funktion QA : ℝn → ℝ definiert durch

$Q_A\left(\overrightarrow{x}\right)={\overrightarrow{x}}^T\cdot A\cdot \overrightarrow{x}$

die zur Matrix A gehörende quadratische Form. Die Matrix A heißt

a)positiv definit, wir schreiben A > 0, wenn für alle x⃗ ≠ 0⃗ gilt QA(x⃗) > 0.

b)positiv semidefinit, wir schreiben A ≥ 0, wenn für alle x⃗ ∈ ℝn gilt QA(x⃗) ≥ 0.

c)negativ definit, wir schreiben A < 0, wenn für alle x⃗ ≠ 0⃗ gilt QA(x⃗) < 0.

d)negativ semidefinit, wir schreiben A ≤ 0, wenn für alle x⃗ ∈ ℝn gilt QA(x⃗) ≤ 0.

e)indefinit, wenn Q A(x⃗) sowohl positive als auch negative Werte annehmen kann.

Zum Beispiel ist die Matrix

$A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 3\end{array}\right)\in {ℝ}^{2\times 2}$

positiv definit, denn es gilt für alle x⃗ ∈ ℝ2 mit Ausnahme des Nullvektors ...