Quantitative Methoden der Wirtschaftswissenschaften, 4th Edition

Die Jahreszahlungen hätten eine Höhe von 3.707,38 €, die monatlichen Zahlungen würden 300,80 € betragen, um den angestrebten Endbetrag zu erreichen.

Lösung zur 2. Klausuraufgabe. a) Ausgehend von der Funktion

$f\left(x,y\right)=\ln \left(\pi \right)+\frac{1}{10}\cdot \left(x^2+y^2-35\right)\cdot e^{-x}$

berechnet man den Gradienten

$f^{\prime }\left(x,y\right)=\left(\frac{x}{5}\cdot e^{-x}-e^{-x}\cdot \frac{1}{10}\cdot \left(x^2+y^2-35\right),\frac{y}{5}\cdot e^{-x}\right).$

Man setzt jede Komponente gleich 0. Da die e-Funktion nicht 0 werden kann, gilt:

$y=0\text{und}\text{2}x-x^2-y^2+35=0.$

Daraus folgt:

$x^2-2x-35=0\iff x=1\pm \sqrt{36}\iff x=-5\text{oder}x=7.$

Zusammen erhält man die Kandidaten (−5, 0) und (7, 0) für die lokalen Extrema.

b) Die Hessematrix hat die Gestalt:

$f^{″}\left(x,y\right)=(\begin{array}{cc}{D}_1^{2}f\left(x,y\right)& -\frac{y}{5}\cdot e^{-x}\end{array}$