Statistik-Arbeitsbuch, 10th Edition

Lösung zu Aufgabe 3.13

a)$f(x_1,\dots ,x_n|t)=t^n\cdot {\displaystyle \prod _{i=1}^n{x}_i^{t-1}}.$

b)$\ln f(x_1,\dots ,x_n|t)=n\ln t+(t-1){\displaystyle \sum _{i=1}^n\ln x_i;}$

der ML-Schätzwert $\widehat{t}$ ist somit definiert durch

$\frac{n}{\widehat{t}}+{\displaystyle \sum _{i=1}^n\ln x_i=0.}$

(Die zweite Ableitung von ln f(x1, ..., xn|t) nach t ist gleich $-\frac{n}{t^2},$ also stets negativ.) Die ML-Schätzfunktion für t lautet daher:

$-\frac{n}{{\displaystyle \sum _{i=1}^n\ln X_i}}.$

Ferner gilt:

$\mu =\text{E}(X)={\displaystyle {\int }_0^{1}xt{x}^{t-1}\text{d}x={\left[\frac{t}{t+1}\cdot x^{t+1}\right]}_0^1=\frac{t}{t+1}}$

und

$p=P\left(X\underset{=}{<}\frac{1}{2}\right)={\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{2}}t{x}^{t-1}}\text{d}x={[x^t]}_0^{\frac{1}{2}}={\left(\frac{1}{2}\right)}^t.$

Die Funktionen $h_1(t)=\frac{t}{t+1}\text{und}{h}_2(t)={\left(\frac{1}{2}\right)}^t$ sind im Bereich t > 0 (wegen ${h^{\prime }}_1(t)=\frac{1}{{(t+1)}^2}>0\text{und}{h^{\prime }}_{}$