Statistik-Arbeitsbuch, 10th Edition

Lösung zu Aufgabe 3.21

a)Da ein Budget c vorgegeben ist, wird die (allgemeine) optimale Aufteilung gemäß (153) bestimmt. Aus der Proportion der Ni und aus N = 10 000 folgt

$N_1=1000,N_2=N_3=N_4=2000\text{und}{N}_5=3000.$

Für den Proportionalitätsfaktor α erhält man somit

$\alpha =\frac{4000}{1000{\sigma }_1(1\cdot 1+2\cdot 1+2\cdot 1+2\cdot 1+3\cdot 10\cdot 2)}=\frac{4}{67{\sigma }_1}.$

Hieraus folgt

$n_i^{*}=\{\begin{array}{ccc}\frac{4000{\sigma }_1}{67{\sigma }_1\cdot 1}& =59,7\approx 60& \text{f<mover accent="true"> u <mo>¨</mo> </mover> r}i=1\\ \frac{8000{\sigma }_1}{67{\sigma }_1\cdot 1}& =119,4\approx 119& \text{f<mover accent="true"> u <mo>¨</mo> </mover> r}i=2,3,4\\ \frac{12000\cdot 10{\sigma }_1}{67{\sigma }_1\cdot 2}& =895,5\approx 896& \text{f<mover accent="true"> u <mo>¨</mo> </mover> r}i=5.\end{array}$

Die bei den gerundeten Werten $n_i^{*}$ entstehenden Kosten sind

$60\cdot 1+3\cdot 119\cdot 1+4\cdot 896=4001$

und somit um 1 höher als c. Um c exakt einzuhalten, kann man beispielsweise ...