概率机器学习在金融与投资中的应用

第 3 章 用蒙特卡罗模拟量化输出的不确定性 用蒙特卡罗模拟量化输出的不确定性

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我拥有骰子的科学知识和数字技能。

-摩诃婆罗多》（Mahabharata，约公元前 900 年）中的瑞图巴纳国王，关于从随机选取的树枝上估算树叶的方法

蒙特卡罗模拟 (MCS)，又称蒙特卡罗法，其重要性怎么强调都不为过。在金融和投资领域，MCS 被用于评估各类资产、优化各种投资组合、估算风险以及评估复杂的交易策略。MCS 尤其用于解决那些没有分析解决方案的问题。¹事实上，有许多类型的金融衍生品--如回溯期权和亚洲期权--无法使用任何其他技术进行估值。虽然 MCS 的数学基础并不简单，但应用这种方法其实很容易，尤其是在你理解了它所依据的关键统计概念之后。

MCS 还广泛应用于一般机器学习算法，尤其是概率机器学习。正如第 1 章所讨论的以及第 2 章蒙特霍尔问题模拟解决方案所展示的，MCS 使 ，您可以在一个称为前向传播的过程中量化模型输出的不确定性。它将金融分析师使用的传统情景和敏感性分析提升到了一个完全不同的层次。

你可能会想， 一种使用随机抽样的方法怎么会带来稳定的解呢？这不是自相矛盾吗？从某种意义上说是的。但是，当你理解了几个统计定理后，你就会发现，在某些情况下，重复试验可以驯服随机性，使其向稳定解收敛。这就是我们在蒙蒂-霍尔问题的模拟解中观察到的情况，大约 1000 次试验后，解就会向理论值靠拢。在本章中，我们将使用 MCS 来复习关键的统计概念，并向您展示如何应用这一强大工具来解决金融和投资中的实际问题。特别是，我们将 MCS 应用于一个资本预算项目，这里是一个软件开发项目，并估算其价值和持续时间的不确定性。

蒙特卡罗模拟概念验证

蒙特卡罗模拟大规模制造武器

MCS 是在 第二次世界大战期间由美国从事核武器计划的一些最优秀的数学家和物理学家开发的。斯坦尼斯瓦夫-乌兰（Stanisław Ulam）与尼古拉斯-梅特波利斯（Nicholas Metropolis）和约翰-冯-诺依曼（John von Neumann）合作，发明了现代版的MCS，并利用第一台可编程电子通用数字计算机ENIAC实现了它。考虑到武器计划的保密性，梅特罗波利斯将这一方法命名为蒙特卡洛（Monte Carlo），取自摩纳哥著名的赌场，乌拉姆的叔叔曾在那里赌掉借来的钱。 布丰伯爵曾在 18 世纪使用过类似的方法，物理学家恩里科-费米在 20 世纪 30 年代也使用过这种方法。

在我们开始走这条路之前，我们如何知道 MCS 确实如描述的那样有效呢？让我们通过计算已知常数 pi 的值来对 MCS 进行简单的概念验证。图 3-1展示了我们如何设置模拟来估算 pi。

图 3-1. 在边长为两个单位长度的红色正方形中模拟单位长度的蓝色圆，用 MCS 估算 pi 值

正如 Python 代码所示，您模拟随机喷洒 N 个点，将整个正方形填满。正方形的长度为 2R，因此其面积为 2R × 2R = 4 ×^R2= N。这意味着圆形面积与正方形面积之比为 pi/4 = M/N。所以 pi = 4 × M/N：

# Import modules
import numpy as np
from ...