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Mathematik - Lehrbuch, 11th Edition

by Otto Opitz, Robert Klein

December 2014

Intermediate to advanced

700 pages

13h 43m

German

De Gruyter Oldenbourg

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Vorwort zur zehnten Auflage
1.1 Zahlenbereiche, Grundrechenarten1.2 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen1.3 Indizierung, Summen, Produkte1.4 Kombinatorik1.5 Gleichungen und Ungleichungen mit einer Variablen1.6 Analytische Geometrie der EbeneSpezialfall 1:Spezialfall 2:Spezialfall 3:1.7 Grundlagen der Trigonometrie1.8 Komplexe Zahlen1.9 Gleichungen höheren Grades
2.1 Aussagen und ihre Verknüpfungen2.2 Allaussagen, Existenzaussagen2.3 Mathematische Beweisführung
3.1 Einführung und Darstellungsformen3.2 Schnitt- und Vereinigungsmengen3.3 Differenzmengen
4.1 Einführung und Darstellungsformen4.2 Inverse und zusammengesetzte Relationen4.3 Ordnungseigenschaften von Mengen4.4 Äquivalenzrelationen4.5 Präordnungen
5.1 Funktionen als spezielle Relationen5.2 Beispiele für reelle Funktionen einer Variablen5.3 Eigenschaften reeller Funktionen
6.1 Polynome6.2 Rationale Funktionen6.3 Potenz- und Wurzelfunktionen6.4 Exponential- und Logarithmusfunktionen6.5 Trigonometrische Funktionen

7.1 Unendliche Zahlenfolgen7.2 Grenzwerte reeller Funktionen7.3 Stetige Funktionen7.4 Zwischenwertsatz
8.1 Differenzenquotient und Differentiation8.2 Differentiationsregeln8.3 Differentialquotienten elementarer Funktionen8.4 Differentialquotienten höherer Ordnung8.5 Änderungsraten und Elastizitäten
9.1 Monotonie und Konvexität9.2 Extremwertbestimmung9.3 Approximation reeller Funktionen durch Polynome
10.1 Das unbestimmte Integral10.2 Bestimmtes Integral und Flächenberechnung10.3 Uneigentliche Integrale
11.1 Einführende Bemerkungen zur Schreibweise11.2 Regeln der Addition und Subtraktion11.3 Regeln der Multiplikation
12.1 Absolutbetrag von Vektoren12.2 Hyperebenen und Kugelflächen12.3 Offene und abgeschlossene Punktmengen12.4 Konvexe Mengen
13.1 Vektorräume im , Basis und Dimension13.2 Basistausch in Vektorräumen13.3 Rang einer Matrix
14.1 Einführende Beispiele14.2 Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme14.3 Lösung homogener Gleichungssysteme14.4 Lösung inhomogener Gleichungssysteme14.5 Zusammenhang mit Vektorräumen
15.1 Eigenschaften linearer Abbildungen15.2 Inverse und orthogonale Matrizen
16.1 Darstellungsformen und Anwendungen16.2 Graphische Lösungsverfahren16.3 Theoretische Grundlagen16.4 Simplexalgorithmus und Standardmaximumproblem16.5 Dualität und Standardminimumproblem
17.1 Determinanten und ihre Berechnung17.2 Einige Aussagen über Determinanten17.3 Zusammenhang mit Matrizenrängen undlinearen Gleichungssystemen
18.1 Einführende Beispiele18.2 Eigenwerte und Eigenvektoren18.3 Existenz reeller Eigenwerte18.4 Definite Matrizen
19.1 Darstellung und Beispiele19.2 Stetigkeit und partielle Differentiation19.3 Richtungsableitungen19.4 Partielle Ableitungen zweiter Ordnung und totales Differential
20.1 Monotonie und Konvexität20.2 Extremwertbestimmung20.3 Einfache lineare Regression20.4 Optimierung mit Nebenbedingungen
21.1 Parameterintegrale21.2 Doppelintegrale
22.1 Grundlagen und Beispiele22.2 Lösung von Differenzengleichungen erster Ordnung22.3 Lösung von Differentialgleichungen erster Ordnung
23.1 Grundlagen und Beispiele23.2 Homogene lineare Differenzen- und Differentialgleichungen23.3 Inhomogene lineare Differenzen- und Differentialgleichungen
24.1 Grundlagen und Beispiele24.2 Homogene lineare Differenzen- und Differentialgleichungssysteme24.3 Inhomogene lineare Differenzen- und Differentialgleichungssysteme

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8 Differentiation von Funktionen einer Variablen

Wie im Fall stetiger Funktionen (Abschnitt 7.3) erläutern wir den Begriff Differentiation für reelle Funktionen einer Variablen mit Hilfe einer Grafik.

Figur 8.1: Differentiation reeller Funktionen

Betrachten wir dazu die in Figur 8.1 dargestellte Funktion f und konstruieren beispielsweise in einem Punkt x₁ die Tangente an f, so ist die Steigung dieser Tangente ein geeignetes Maß für den Anstieg der Funktion f im Punkt x₁. Den berechneten Wert werden wir später als Differentialquotienten der Funktion f an der Stelle x₁ bezeichnen. Während die Tangentenkonstruktion im Punkt x₁ eindeutig möglich ...