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Mathematik verstehen mit fischertechnik®

by Thomas Püttmann

October 2022

Intermediate to advanced

494 pages

10h 55m

German

dpunkt

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1.1 Fragen und AntwortenWie benutze ich den Zirkel?Was genau ist ein Kreis?Wozu soll ich Kreise zeichnen?Was ist eine geometrische Konstruktion?Wie kann ich einen Kreis mit 5 cm Radius durch zwei Punkte legen?Wie kommt hierbei Symmetrie ins Spiel?Wie kann ich durch drei Punkte einen Kreis zeichnen?1.2 Ausblick1.3 BauanleitungZirkelStangenzirkel
2.1 Fragen und AntwortenWas ist ein Fasskreisbogen?Zeichnet das Modell tatsächlich einen Kreisbogen?Wie viele Fasskreisbögen gibt es?Wodurch unterscheiden sich die beiden Fasskreisbögen?Gehen die Fasskreisbögen bis zu den Punkten A und B?Was ist eine Sehne?Was ist der Sehnen-Winkel-Satz?Wie kann man den Sehnen-Winkel-Satz beweisen?Was passiert, wenn der Kreisbogen 180° oder weniger umfasst?Wie kann man Fasskreisbögen mit dem Zirkel zeichnen?Kann das Modell nur Fasskreise zu 60°-Winkeln zeichnen?2.2 Bauanleitung
3.1 Fragen und AntwortenWas kann ich mit dem Sextanten messen?Was ist der Winkel zwischen zwei Objekten im Gelände?Wie funktioniert der Sextant?Was muss ich vor jeder Messung machen?Muss ich vor jeder Messung den Indexfehler bestimmen?Wie geht die eigentliche Messung vor sich?Wie genau ist der Sextant?Was nützen mir Winkelmessungen?Wie funktioniert Rückwärtseinschneiden?Wie funktioniert die Astronavigation?Kann ich Gestirnshöhen messen, auch wenn ich nicht am Meer bin?Was ist der Vorteil des Sextanten?Wie kommt die Skala zustande?Wie funktioniert die Minutenskala?3.2 Ausblick3.3 Bauanleitung
4.1 Fragen und AntwortenWie bediene ich den Frosch?Wofür steht das Q nach der 12?Gibt es für den Frosch eine Vorlage?Warum kein Affe, sondern ein Frosch?Wie funktioniert der Frosch?Welche Geometrie steckt im Rechenfrosch?Kann der Frosch auch addieren, subtrahieren und dividieren?4.2 Ausblick4.3 Bauanleitung

5.1 Fragen und AntwortenWas kann ich mit dem Rechenschieber machen?Wie kann ich multiplizieren?Kann ich auch größere Zahlen multiplizieren?Was ist die Fließkomma-Darstellung von Zahlen?Wie kann ich dividieren?Wie kann ich die Wurzel ziehen?Wie sieht ein kommerzieller Rechenschieber aus?Wie funktioniert ein Rechenschieber?Was sind die Potenzgesetze?Wie addiere ich zwei Zahlen mit zwei Geodreiecken?Was ist eine logarithmische Skala?Wieso heißen logarithmische Skalen nicht exponentielle Skalen?Was ist eine Oktave?Was hat unser Geld mit logarithmischen Skalen zu tun?5.2 BauanleitungKleiner RechenschieberGroßer Rechenschieber
6.1 Fragen und AntwortenWas kann ich mit dem Sinuscomputer machen?Wie bestimme ich Sinus und Cosinus eines Winkels?Wie genau ist der Sinuscomputer?Was sind eigentlich Sinus und Cosinus eines Winkels?Wie funktioniert der Sinuscomputer?Was ist eine Hypozykloide?6.2 BauanleitungSinuscomputerDeltoide
7.1 Fragen und AntwortenWozu ist das Spiegellineal gut?Wie benutze ich das Spiegellineal?Was sind Tangenten?Gibt es immer eine Tangente?Wie funktioniert das Spiegellineal?Wie sehen Tangenten an Kreisen aus?Darf eine Tangente eine Kurve nur in einem Punkt berühren?Was sind Schmiegkreise?Wie kann ich die Genauigkeit steigern?Wozu sind Tangenten an Funktionsgraphen gut?Was ist die Ableitung einer Funktion?7.2 Bauanleitung
8.1 Fragen und AntwortenWas kann ich mit dem Planimeter machen?Wie ist das Planimeter aufgebaut?Wie messe ich den Flächeninhalt eines Gebiets?Wie sieht ein kommerzielles Planimeter aus?Was ist das größte technische Problem beim Planimeter?Warum sind die Messräder kommerzieller Planimeter viel kleiner?Wie genau ist unser Planimeter?Was passiert, wenn ich die Randkurve gegen den Uhrzeigersinn abfahre?Sind negative Flächeninhalte nicht unsinnig?Kann man Flächeninhalte auch anders messen?Wie kann man Flächeninhalte einfacher Figuren berechnen?Welchen Flächeninhalt überstreicht der Unterarm?Wie kommt man zum Flächeninhalt der Kurve?8.2 Ausblick8.3 Bauanleitung
9.1 Fragen und AntwortenWas mache ich mit der Schleppe?Wie sehe ich, dass der Führungsstift mittig auf der Kurve ist?Was hat die Schleppe mit einem Fahrrad zu tun?Wie kommen Tangenten ins Spiel?Wie kann ich mit der Schleppe Flächeninhalte messen?Warum funktioniert diese Methode?Wie stelle ich die Schleppe möglichst gut ein?Wer erfand die Schleppe?Wieso zeichnet die Schleppe solch glatte Kurven?Wie kann ich mit der Schleppe grafisch integrieren?9.2 Ausblick9.3 Bauanleitung
10.1 Fragen und AntwortenWas macht der Kompasswagen?Wer erfand den Kompasswagen?Ist der Wagen praktisch als Kompass zu gebrauchen?Welcher Name wäre besser geeignet?Wie dreht sich der Kompasswagen während der Fahrt?Wie funktioniert der Kompasswagen?Wie groß muss der Abstand der Räder sein?Kann der Wagen auch auf einer Kugel parallelverschieben?Wovon hängt die Parallelverschiebung ab?Kann ich Flächeninhalte auf der Kugel mit dem Kompasswagen messen?10.2 Ausblick10.3 Bauanleitung
11.1 Fragen und AntwortenSelbstenttwistung – was soll das sein?Wie ist der Selbstenttwister aufgebaut?Kann sich die Lampe auch in der Mitte drehen?Wie funktioniert die Selbstenttwistung?Kann man den Effekt noch anders verdeutlichen?Was ist der Dirac-Belt-Trick?Was hat der Selbstenttwister mit dem Gürteltrick zu tun?Wer erfand den Selbstenttwister?Wird die Selbstenttwistung in der Praxis eingesetzt?Was liegt dem Effekt mathematisch zugrunde?Wie beschreibt man Lage und Ausrichtung eines Gegenstands?Was ist die Drehgruppe SO(3)?Wie kann man das Drehen um 720° formal beschreiben?Wie wird das Drehen um 720° mathematisch aufgelöst?Kann man mit Wegen rechnen?Wieso gibt es nur zwei Sorten von Wegen?Was ist der Twist-Bogen?Wie führt der Twist-Bogen zu Formeln?11.2 Ausblick11.3 BauanleitungSelbstenttwisterMit LEDsGebogener Dirac-Gürtel
12.1 Fragen und AntwortenWelche platonischen Körper gibt es?Was ist ein platonischer Körper?Welche Drehsymmetrie besitzen die platonischen Körper?Was ist das Besondere an diesen Drehsymmetrien?Gibt es auch Spiegelsymmetrien?Wie kann ich die platonischen Körper aus fischertechnik bauen?Wie baue ich Polyeder aus gleichseitigen Dreiecken?Was entsteht, wenn in jeder Ecke fünf Dreiecke zusammentreffen?Was entsteht, wenn in jeder Ecke vier Dreiecke zusammentreffen?Was entsteht, wenn in jeder Ecke drei Dreiecke zusammentreffen?Können auch mehr als fünf Dreiecke in einer Ecke zusammentreffen?Wie baue ich Polyeder aus Quadraten?Was entsteht, wenn in jeder Ecke drei Quadrate zusammentreffen?Können mehr als drei Quadrate in einer Ecke zusammentreffen?Wie baue ich Polyeder aus regelmäßigen Fünfecken?Was entsteht, wenn in jeder Ecke drei Fünfecke zusammentreffen?Können mehr als drei regelmäßige Fünfecke in einer Ecke zusammentreffen?Können andere regelmäßige n-Ecke in einer Ecke zusammentreffen?Kann ich spannende nichtplatonische Körper bauen?Was ist die Eulersche Polyederformel?Gilt die Formel auch für nichtkonvexe Polyeder?12.2 Ausblick12.3 BauanleitungenTetraederHexaeder (Würfel)OktaederDodekaederIkosaeder
13.1 Fragen und AntwortenWas macht der Abakus?Wozu sind die Muster gut?Wozu ist die Teilung der Stange gut?Wie bediene ich den Abakus?Was haben die Muster mit römischen Zahlen zu tun?Wie addiere ich mit dem Abakus?Ist das immer so einfach?Gibt es auch einen »großen Freund«?Kann ich auch subtrahieren, multiplizieren und dividieren?Gibt es auch andere Abakus-Varianten?13.2 Ausblick13.3 Bauanleitung
14.1 Fragen und AntwortenWas kann ich mit der kleinen Rechenmaschine machen?Wie rechne ich 54 + 27?Wie rechne ich 83 – 56?Wie rechne ich 7 · 8?Wie rechne ich 68 : 7?14.2 Bauanleitung
15.1 Fragen und AntwortenWas kann ich mit den Multiplikationswalzen machen?Wie kann ich 7 · 569 berechnen?Ist das immer so einfach?Wie funktionieren die Multiplikationswalzen?Wer hat die Multiplikationswalzen erfunden?Was sind die Napierschen Rechenstäbchen?Welchen Vorteil bieten die Walzen gegenüber den Stäbchen?Woher stammt die diagonale Unterteilung auf den Stäbchen?15.2 Ausblick15.3 Bauanleitung
16.1 Fragen und AntwortenWas macht der Analogzähler?Wie lese ich die Anzeige ab?Wie funktioniert der Analogzähler?Wie stelle ich den Zähler ein?Wozu ist die kontinuierliche Zählung gut?Ist die Bezeichnung »Analogzähler« passend?16.2 Bauanleitung
17.1 Fragen und AntwortenWie ist die Rechenmaschine aufgebaut?Wie kann ich schnell etwas Spannendes mit der Maschine rechnen?Was kann ich mit der Rechenmaschine alles berechnen?Kann ich mit mehr als drei Stellen rechnen?Muss ich 43-mal drehen, wenn ich 43 · 21 berechnen möchte?Wie funktioniert das Rechenwerk?Wer hat die fließende Zehnerübertragung erfunden?Was ist so toll an der fließenden Zehnerübertragung?Was sind die Nachteile der fließenden Zehnerübertragung?Wozu ist die Aufteilung in Rechenwerk und Eingaberegister gut?Was sind Sprossenräder und Staffelwalzen?Warum hat Leibniz keine erfolgreiche Rechenmaschine gebaut?17.2 Ausblick17.3 Bauanleitung
18.1 Fragen und AntwortenWas kann ich mit dem Binärrechner machen?Wie kann ich mit dem Binärrechner zählen?Wie funktioniert das Zählen genau?Funktionieren die Umwandlungen auch bei größeren Zahlen?Was passiert bei der 16. Kugel?Wie kann ich mit dem Binärrechner addieren?Was passiert, wenn das Ergebnis größer als 15 ist?Was ist ein Bit?Wie funktioniert das Addieren genau?In welcher Reihenfolge stoße ich die Kugeln von den Sockeln?Kann ich auch subtrahieren?Wie funktioniert das Subtrahieren?Kann der Binärrechner auch mit negativen Zahlen arbeiten?Was ist mit Multiplikation und Division?Wer hat das binäre Rechnen erfunden?Hat unser Binärrechner eine Vorlage?Warum rechnen elektronische Computer binär?Warum rechnen mechanische Rechenmaschinen dezimal?18.2 Bauanleitung
19.1 Fragen und AntwortenWofür steht die Bezeichnung »DA-Wandler«?Was kann unser DA-Wandler?Wie funktioniert unser DA-Wandler?Was ist ein gewichtetes Mittel?Kann ich mehr als zwei Bit wandeln?Wo werden DA-Wandler eingesetzt?Wie sind elektronische DA-Wandler aufgebaut?Gibt es auch AD-Wandler?19.2 Ausblick19.3 Bauanleitung
20.1 Fragen und AntwortenWozu ist der Seilcomputer gut?Wie ist der Seilcomputer aufgebaut?Wie löse ich ein Gleichungssystem mit dem Seilcomputer?Gibt es ein Vorbild für den Seilcomputer?Kann unser Seilcomputer auch größere Systeme lösen?Was mache ich, wenn meine Koeffizienten nicht passen?Warum sind lineare Gleichungssysteme wichtig?Wie funktioniert der Seilcomputer?Warum ist der Zeiger im Seilcomputer vertikal und nicht horizontal?Wo muss ich auf die Wippen drücken?Was passiert, wenn ein Gleichungssystem unlösbar ist?Was passiert, wenn es unendlich viele Lösungen gibt?Warum sind permanent stramme Seile nicht gut?Welche anderen Systeme kann ich ausprobieren?20.2 Ausblick20.3 BauanleitungDie WippenDas UnterteilDas OberteilDie SeileZusammenbau und Einstellung der Seillängen
21.1 Fragen und AntwortenWie kann ich den xy-Schreiber selber steuern?Was zeichne ich zuerst?Welche Kurven kann der xy-Schreiber zeichnen?Muss der Schreiber in der Ecke eines Tisches stehen?Kann ich auch etwas Nichtmathematisches mit dem Schreiber machen?21.2 BauanleitungDas GestellDer WagenDer SchlittenDie Gewichte und die SeilführungVariante ohne Laufschienen
22.1 Fragen und AntwortenWarum soll ich Geraden mit dem xy-Schreiber zeichnen?Was ist die Steigung einer Geraden?Wie kommt die Gerade mechanisch zustande?Was hat das Ganze mit Funktionen zu tun?Wie kann ich andere Geraden zeichnen lassen?22.2 Bauanleitung
23.1 Fragen und AntwortenWas kann der Synthesizer?Wie ist der Synthesizer aufgebaut?Wie lege ich mit dem Synthesizer los?Was zeichne ich zuerst?Was zeichne ich als Zweites?Welche Funktionen kann der Synthesizer allgemein zeichnen?Welche Einheiten verwende ich?Was ist die wichtigste Komponente des Synthesizers?Wie funktioniert ein Sinusgenerator?Wie werden die beiden Sinusfunktionen überlagert?Was ist in Abbildung 23–2 dargestellt?Kann ich mehr als zwei Sinusfunktionen überlagern?Welcher Zusammenhang besteht zum Musikinstrument?Woher stammt das Funktionsprinzip des Synthesizers?23.2 Ausblick23.3 Bauanleitung
24.1 Fragen und AntwortenWas ist eine Ellipse?Wie ist der Ellipsenzeichner aufgebaut?Wie kann ich eine Ellipse zeichnen?Wo liegen die Achsen dieser Ellipse?Wie kann ich die gezeichnete Ellipse mathematisch beschreiben?Kann ich die Ellipse ohne Sinus und Cosinus beschreiben?Was passiert, wenn die Rotoren nicht 90° gegeneinander verdreht sind?Was sind die Scheitelpunkte einer Ellipse?Was ist ein Zylinderschnitt?Wie konstruiert ein Gärtner eine Ellipse?Wie passen die Konstruktionen zusammen?Was sind die Dandelinschen Kugeln?Was ist ein Kegelschnitt?Warum heißen die Brennpunkte Brennpunkte?24.2 Ausblick24.3 Bauanleitung
25.1 Fragen und AntwortenWas kann ich mit dem Harmonographen machen?Wie zeichne ich Lissajous-Figuren mit dem Harmonographen?Welche weiteren Lissajous-Figuren kann ich zeichnen?Kann ich der Figur das Frequenzverhältnis ansehen?Was sind Multiplizitäten?Wie hat Lissajous die Kurven untersucht?Was haben die Figuren mit musikalischen Intervallen gemein?Wie kann ich Lissajous-Figuren mathematisch beschreiben?25.2 Ausblick25.3 Bauanleitung
26.1 Fragen und AntwortenWas ist ein Isograph?Was kann unser Isograph?Wie zeichne ich die Kurven mit dem Isographen?Warum steht ein z in den Gleichungen und kein x?Was sind komplexe Zahlen?Wie addiere ich komplexe Zahlen?Wie multipliziere ich komplexe Zahlen alternativ?Was ist die Polardarstellung einer komplexen Zahl?Welche Kurven zeichnet der Isograph?Wie löse ich eine Gleichung mit dem Isographen?Was sagt der Fundamentalsatz der Algebra?Woran erkenne ich eine doppelte Nullstelle?Was genau ist die Umlaufzahl?Wie kann ich die Umlaufzahlen schnell bestimmen?Was nutzt mir die Umlaufzahl?Warum zeichnen? Gibt es keine Lösungsformel?26.2 Ausblick26.3 BauanleitungErste VarianteZweite Variante
27.1 Fragen und AntwortenWie bediene ich den kgV-Kurbler?Was ist das kgV?Wie funktioniert der kgV-Kurbler?Wie knapp verpassen sich die Raupenbeläge zwischendurch?Was ist der ggT?Was passiert, wenn der ggT = 1 ist?Was haben kgV und ggT miteinander zu tun?Wie kann ich den ggT zweier Zahlen berechnen?Wann verpassen sich die Raupenbeläge am knappsten?Wie wende ich kgV und ggT in der Bruchrechnung an?Welche Anwendungen des kgV gibt es?27.2 Bauanleitung
28.1 Fragen und AntwortenWozu ist der Faktorisierer gut?Gibt es ein Vorbild für den Faktorisierer?Warum gibt es zwei Varianten des Faktorisierers?Wie bediene ich die kleine Variante?Was sind die binomischen Formeln?Was hat das Faktorisieren mit Quadratzahlen zu tun?Was ist der Vorteil der Quadratzahlen?Steckt im Faktorisierer das Fermat-Verfahren?Wie schließt der Faktorisierer aus, dass eine Zahl eine Quadratzahl ist?Was haben die Ketten mit Teilen mit Rest zu tun?Was sind die quadratischen Reste im 28er-System?Auf welche Kettenglieder kommen Raupenbeläge?Wie spielen die Ketten zusammen?Bis zu welchem Zählerstand muss ich höchstens kurbeln?Was ist Parallelisierung?Wie oft liefert der Faktorisierer Fake-Kandidaten?Kann ich beim großen Faktorisierer weitere Ketten ergänzen?Was hat Faktorisieren mit Verschlüsseln zu tun?28.2 Ausblick28.3 BauanleitungKleine VarianteProgrammierung der kleinen VarianteGroße VarianteMotor und ElektronikProgrammierung der großen Variante
Die Namen der Einzelteile
Bildnachweise

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11 Der Selbstenttwister

Kann man eine fest verkabelte Lampe immer weiter um eine Achse drehen, ohne dass sich das Kabel verdrillt? Du denkst, das ginge nicht? Dann baue dieses Modell nach, das regelmäßig selbst erfahrenste Ingenieure zum Staunen bringt. Du kannst dabei einen wichtigen, aber nicht ganz einfachen mathematischen Sachverhalt intuitiv verstehen: Das Drehen um 720° ist nullhomotop. Wir leiten am Ende sogar eine neue Formel für eine solche Nullhomotopie her.

Anzahl der Teile: 38 (Selbstenttwister), 154 (Twist-Bogen)
Bauzeit: 20 min (Selbstenttwister mit Papierstreifen)
Größte Schwierigkeit: Kabelführung durch Hohlachse (LED-Version)
Lehrplanbezug: Drehungen im Raum, Paulisches Ausschließungsprinzip