Praktische Lineare Algebra für Data Science

Kapitel 14. Singulärwert-Zerlegung

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Das vorige Kapitel war wirklich sehr umfangreich! Ich habe mein Bestes getan, um es verständlich und streng zu gestalten, ohne mich in Details zu verzetteln, die für die Datenwissenschaft weniger relevant sind.

Glücklicherweise gilt das meiste, was du über die Eigenschaftszerlegung gelernt hast, auch für die SVD. Das bedeutet, dass dieses Kapitel einfacher und kürzer sein wird.

Der Zweck der SVD besteht darin, eine Matrix in das Produkt dreier Matrizen zu zerlegen, die als linke Singulärvektoren ($𝐔$), die Singulärwerte ($\mathbf{\Sigma }$), und die rechten Singulärvektoren ($𝐕$):

$$\mathbf{A}=\mathbf{U}\mathbf{\Sigma }{\mathbf{V}}^{\text{T}}$$

Diese Zerlegung sollte ähnlich aussehen wie die Eigendekomposition. Tatsächlich kannst du dir die SVD als eine Verallgemeinerung der Eigendekomposition für nicht-quadratische Matrizen vorstellen - oder du kannst dir die Eigendekomposition als einen Spezialfall der SVD für quadratische Matrizen vorstellen.¹

Die Singulärwerte sind mit den Eigenwerten vergleichbar, während die Singulärvektor-Matrizen mit den Eigenvektoren vergleichbar sind (diese beiden Mengen sind unter bestimmten Umständen, die ich später erklären werde, gleich).

Das große Bild der SVD

Ich möchte dich in die Idee und die Interpretation der Matrizen einführen und dann später im Kapitel erklären, wie man die SVD berechnet.

Abbildung 14-1 zeigt den Überblick über die SVD. ...