Python による金融理論

第6章. ダイナミック・エコノミー

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証券市場の多期間モデル は、単一期間モデルよりもはるかに現実的である。実際、金融業界では実用的な目的で広く使われている。

スタンリー・プリスカ（1997年）

市場はいつでも完全というわけではないが、不確実性が少しずつ解消されるにつれて、時間を通じてポートフォリオを調整しながら、与えられた金融証券のセットを取引することで、どのような消費プロセスも経理することができるという意味で、動的には完全である。

ダレル・ダフィー（1986年）

現実には、株価や金利の変化といった定量的な情報は、時間の経過とともに徐々に明らかになっていく。静的モデル経済は経理における基本的な概念を導入するエレガントな方法であるが、現実的な金融モデルには金融の世界を動的に表現する必要がある。

ダイナミック経済を適切にモデル化するために必要な形式論はより複雑であり、本章で完全に詳しく説明することはできない。しかし、この章では、離散時間力学に基づく最も重要な2つのダイナミック・モデル経済を紹介することができる：離散モンテカルロ・シミュレーション版のCox-Ross-Rubinstein（1979）二項オプション価格決定モデルとBlack-Scholes-Merton（1973）オプション価格決定モデルである。このコンテキストでは、離散時間とは、関連する日付のセットが2つだけから、より大きな、しかしやはり有限の数、例えば5つまたは50に拡張されることを意味する。

線形代数、確率論、そして前章と同様、モンテカルロ・シミュレーションを実装するための確率要素である。Duffie(1988)とPliska(1997)は、離散時間におけるダイナミックな金融モデリングのための素晴らしいリソースである。Glasserman (2004)は、経理におけるモンテカルロ・シミュレーション・メソッドに関する包括的な参考書である。

この章で扱うトピックは、確率過程、動的に完全な市場におけるオプション・プライシング、二項オプション・プライシング、ブラック・ショールズ・マートン（1973年）のダイナミック・シミュレーション、早期行使とアメリカン・オプション・プライシング、そして最小二乗モンテカルロ（LSM）オプション・プライシングである。

以下の表は、この章で発見された経理、数学、Pythonのトピックの概要である：

経理	数学	Python
不確実性、ツリーベース	確率過程、二項木	NumPy,ndarray
不確実性、シミュレーションベース	確率過程、モンテカルロ・シミュレーション	NumPy ndarray 、rng.standard_normal
ヨーロピアン・オプション価格	内部値、後方帰納法、リスク中立期待値	NumPy ndarray 、np.maximum
アメリカン・オプション価格	内部値、継続値、OLS回帰、後方帰納法、リスク中立期待値	NumPy ndarray 、np.polyval,np.polyfit,np.where

第5章と同様、本章の主要な目標は一般化である。第5章が 状態空間を一般化するのに対して、本章では、新しい情報が明らかになり、経済活動が行われる関連時点の離散集合を一般化することを目指す。そのためには、ある程度の追加的な形式化が必要であるが、本章では、2つの特定のモデルのみに焦点を当て、離散時間における動的経済の一般的な枠組みを提供しようとはしていないため、他方では、あまり形式的でない。Pythonで実装された多くの例を含むこのような一般化フレームワークは、Hilpisch ...