R语言计量金融初学指南

第6章　衍生品定价

衍生品是一种金融工具，它的价值源于（或者说取决于）称为基础资产的其他产品的价值。衍生品的3种基本类型是远期和期货合约、互换，以及期权。本章将关注最后一种类型并讲述基本的期权定价模型，以及一些可以用R处理的相关问题。我们始于如何在R中使用连续Black-Scholes模型和二项Cox- Ross-Rubinstein模型，接着继续讨论这些模型之间的联系。进而我们通过计算希腊字母并绘图，说明如何分析期权包含的市场风险的最重要类型。最后，我们会讨论隐含波动率的意义，并通过真实市场数据画出波动率微笑来解释这种现象。

期权区别于期货或互换的最重要特征是，你无法确认这笔交易（买入或者卖出基础资产）是否会发生。这种特征使期权定价更加复杂，并要求所有的模型对基础产品的未来价格变动做出假设。这里涉及的两种模型在假设上有所区别：Black-Scholes模型采用连续过程，而Cox-Ross-Rubinstein模型采用离散的随机过程。但是，其余假设非常相似，并且结果也很接近（甚至基本相同）。

6.1　Black-Scholes模型

Black-Scholes模型（Black和Sholes，1973，也见Merton，1973）的假设如下。

• 基础资产的价格（S）服从几何布朗运动：dS=μSdt+σSdW，其中，μ（漂移率）和σ（波动率）是常数参数，W是一个标准的维纳过程。
• 市场无套利。
• 基础产品是不支付红利的股票。
• 可以以任意数量（甚至是分数）买入或者（做空）卖出基础资产。
• 没有交易成本。
• 短期利率（r）已知，并且不随着时间变动。

模型的主要结果是，在这些假设之下，欧式看涨期权的价格（c）有闭式的公式。

在这里，X是执行价格，是期权到期的时间，N表示标准正态分布的累积分布函数。这个方程给出的期权价格就是通常所说的Black-Scholes公式。从看跌-看涨平价关系中容易看出，参数相同的欧式看跌期权的价格（ ...