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Brückenkurs Mathematik, 4th Edition

by Jan Peter Gehrke

August 2016

Intermediate to advanced

501 pages

13h 14m

German

De Gruyter Oldenbourg

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I.1 Ein paar BeispieleI.2 Interpretation von SchaubildernI.3 Mathematische Beschreibung von AbhängigkeitenI.4 Der Begriff der FunktionI.5 Einteilung des Zahlenstrahls – Intervalle
II.1 Die Streckenlänge im kartesischen KoordinatensystemII.2 Der Mittelpunkt einer Strecke im kartesischen KoordinatensystemII.3 Die Hauptform der Geradengleichung II.4 Die gegenseitige Lage von GeradenII.5 Über Schnittwinkel und orthogonale GeradenII.5.1 Eine neue Möglichkeit, die Steigung zu berechnenII.5.2 Zueinander orthogonale GeradenII.5.3 Der Schnittwinkel zweier Geraden
III.1 Die Binomischen FormelnIII.1.1 Die 1. Binomische FormelIII.1.2 Die 2. Binomische FormelIII.1.3 Die 3. Binomische FormelIII.1.4 Der Weg zurück – Die Binomischen Formeln im RückwärtsgangIII.2 Der Umgang mit quadratischen FunktionenIII.2.1 Die Mitternachtsformel (MNF)III.2.2 Von der Scheitelform zur Normalform und wieder zurück – There and back again III.2.3 Scheitelermittlung durch „Absenken“III.3 Die Herleitung der MitternachtsformelIII.4 Der Umgang mit Parabelscharen – Grundlagen Parameterfunktionen III.5 Zusammenfassung des Unterkapitels über Parameterfunktionen
IV.1 Potenzfunktionen – Definition und ein paar EigenschaftenIV.1.1 Parabeln n-ter OrdnungIV.1.2 Hyperbeln n-ter OrdnungIV.2 Die Potenzgesetze IV.2.1 Warum Hochzahlen praktisch sindIV.2.2 Das „nullte“ Potenzgesetz und noch eine DefinitionIV.2.3 Das erste Potenzgesetz IV.2.4 Das zweite Potenzgesetz IV.2.5 Das dritte Potenzgesetz IV.2.6 Das vierte Potenzgesetz IV.2.7 Das fünfte Potenzgesetz IV.2.8 Rationale Hochzahlen IV.2.9 Rechnen ohne Klammern – Vorfahrtsregeln beim RechnenIV.3 Rechnen mit Wurzeln – Einfache WurzelgleichungenIV.4 Die Logarithmengesetze

V.1 Definition und GrenzverhaltenV.2 Zur Symmetrie bei ganzrationalen FunktionenV.3 Noch mehr Symmetrie – Symmetrie zu beliebigen Achsen und PunktenV.4 Ganzrationale Funktionen und ihre NullstellenV.4.1 Warum die Polynomdivision funktioniertV.4.2 Das Horner-SchemaV.4.3 Nullstellen und Substitution bei ganzrationalen FunktionenV.5 Das Baukastenprinzip – Zusammengesetzte FunktionenV.5.1 Addition und Subtraktion von FunktionenV.5.2 Multiplikation und Division von FunktionenV.6 Den Überblick behalten – Gebietseinteilungen vornehmenV.7 Beträge von Zahlen/Funktionen und Betragsgleichungen V.7.1 Vom Betrag einer Zahl und den dazugehörigen RechenregelnV.7.2 Der Betrag einer Funktion oder Ebbe in den Quadranten Nummer III und IVV.7.3 Die abschnittsweise definierte Funktion in Gleichungen – Jetzt wird’s kritisch!V.7.4 Betragsgleichungen
VI.1 GrundlagenVI.1.1 Ein paar Spielregeln zu BeginnVI.1.2 Darstellungsformen von FolgenVI.1.3 Die Definition der MonotonieVI.1.4 Der Nachweis der MonotonieVI.1.5 BeschränktheitVI.2 Der Grenzwert einer FolgeVI.2.1 Die Definition des GrenzwertesVI.2.2 Zwei Sätze und ein paar BegriffeVI.3 Die GrenzwertsätzeVI.3.1 Die 3 GrenzwertsätzeVI.3.2 Ein Beweis zu den GrenzwertsätzenVI.3.3 Berechnung der Grenzwerte bei rekursiven FolgenVI.4 Arithmetische und geometrische FolgenVI.4.1 Arithmetische Folgen I – Ein paar GrundlagenVI.4.2 Geometrische Folgen I – Ein paar GrundlagenVI.5 Die vollständige Induktion – Ein mächtiges BeweisverfahrenVI.5.1 Arithmetische Folgen II – Die Summe der FolgengliederVI.5.2 Geometrische Folgen II – Die Summe der FolgengliederVI.5.3 Vollständige Induktion in BeispielenVI.6 Ein Test alles Gelernten – Die Fibonacci-ZahlenfolgeVI.6.1 Einführung und historischer AbrissVI.6.2 Die Fibonacci-Zahlenfolge – GrundlagenVI.6.3 Die Kaninchen-AufgabeVI.6.4 Der Goldene SchnittVI.6.5 Die Herleitung der expliziten Formel
VII.1 Vom Differenzen- zum DifferentialquotientenVII.2 Die Ableitung einer Potenzfunktion und die Tangentengleichung VII.2.1 Der Umgang mit BerührpunktenVII.3 Die Herleitungen der AbleitungsregelnVII.3.1 Die SummenregelVII.3.2 Die Faktorregel VII.3.3 Die ProduktregelVII.3.4 Die Quotientenregel VII.3.5 Die KettenregelVII.4 Wichtige Punkte eines FunktionsgraphenVII.4.1 ExtrempunkteVII.4.2 WendepunkteVII.4.3 Neu und alt – Ableitung trifft ParameterVII.5 Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Monotonie und die Wertetabelle VII.5.1 Stetigkeit – Ohne Sprung ans ZielVII.5.2 Differenzierbarkeit – Knickfrei durch’s LebenVII.5.3 Monotonie – Wo geht’s denn hin?VII.5.4 Die Wertetabelle – Eine oft ignorierte ZeichenhilfeVII.6 Die Kurvendiskussion – Gesamtübersicht mit Beispiel
VIII.1 LGS mit 2 Unbekannten und 2 GleichungenVIII.1.1 Das Gleichsetzungsverfahren VIII.1.2 Das Einsetzungsverfahren VIII.1.3 Das AdditionsverfahrenVIII.1.4 Der Umgang mit Parametern bei einem LGS VIII.2 LGS mit 3 und mehr UnbekanntenVIII.2.1 Das Gaußsche EliminationsverfahrenVIII.2.2 Gibt es Lösungen – und wenn ja wie viele?VIII.3 LGS und Funktionen – Bestimmung ganzrationaler Funktionen
IX.1 Grundlagen – Umgang mit Bruchgleichungen und BrüchenIX.2 Definition der gebrochenrationalen FunktionenIX.3 Ein paar Besonderheiten – Definitionslücken und AsymptotenIX.4 Ableiten gebrochenrationaler FunktionenX.1 Grundlagen und AbleitungsregelnX.1.1 Definition und BeispieleX.1.2 Vom Einheitskreis zur FunktionX.1.3 Das BogenmaßX.1.4 Andere WinkelX.1.5 Der Sinussatz X.1.6 Der Kosinussatz X.1.7 Weitere Betrachtungen zum EinheitskreisX.1.8 Die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen – Ein wenig Nostalgie bei der HerleitungX.2 Übersicht über die Eigenschaften der trigonometrischen GrundfunktionenX.3 Die Modifizierung trigonometrischer Funktionen (Sinus und Kosinus)
XI.1 GrundlagenXI.2 Ableiten von ExponentialfunktionenXI.3 WachstumXI.3.1 Lineares WachstumXI.3.2 Exponentielles/Natürliches WachstumXI.3.3 Beschränktes WachstumXI.3.4 Logistisches WachstumXI.4 Die Grenzen erfahren – Grenzwertuntersuchung mit L’Hospital
XII.1 Was ist eine Umkehrfunktion? – Grundlagen und BegriffeXII.2 Ableiten von UmkehrfunktionenXII.2.1 Implizites DifferenzierenXII.2.2 Ableiten von Umkehrfunktionen mit der KettenregelXIII.1 Schritt für Schritt zum Ziel – Ober- und UntersummeXIII.1.1 Ober- und UntersummeXIII.2 Was haben Stammfunktionen und Integralfunktionen gemeinsam?XIII.3 Übersicht zu wichtigen StammfunktionenXIII.3.1 Aufleiten mittels der linearen SubstitutionXIII.3.2 Etwas Interessantes – Die ProduktintegrationXIII.3.3 Ein praktischer Satz – Über das Aufleiten von BrüchenXIII.4 Flächenberechnung – Worauf man achten sollteXIII.5 Einmal rundherum – Berechnung von Rotationsvolumen
XIV.1 Der Vektor in der analytischen GeometrieXIV.2 Linear abhängig und unabhängigXIV.3 Das Prinzip des geschlossenen VektorzugsXIV.3.1 Ein Beispiel: Teilverhältnis der Seitenhalbierenden im DreieckXIV.4 Ein erstes Produkt für Vektoren: Das Skalarprodukt XIV.4.1 Von Vektoren und ihren BeträgenXIV.4.2 Das Skalarprodukt: Die Definition und ihre KonsequenzenXIV.4.3 Was man vom Skalarprodukt zum Beweisen benötigtXIV.4.4 Ein Beispiel: Der Satz des Thales XIV.5 Eine Aufgabe zur Vertiefung
XV.1 Noch ein Produkt für Vektoren: Das KreuzproduktXV.2 Eine Runde Teamwork – Das Spatprodukt XV.3 Geraden und VektorenXV.4 EbenenXV.4.1 Die KoordinatenformXV.4.2 Die NormalenformXV.4.3 Umwandeln von EbenenXV.5 Lagebeziehungen XV.5.1 Gegenseitige Lagen von GeradenXV.5.2 Gegenseitige Lagen von EbenenXV.5.3 Gegenseitige Lagen von Ebene und GeradeXV.6 AbständeXV.6.1 Der Abstand zweier PunkteXV.6.2 Die Hessesche Normalenform – Abstandsbestimmungen bei EbenenXV.6.3 Abstände, die uns noch fehlenXV.7 Ein kurzes Wort über SchnittwinkelXV.8 Ein kugelrunder Abschluss
XVI.1 Für Nullstellen – Das Newton-VerfahrenXVI.1.1 Wann Newton nicht funktioniertXVI.1.2 Übersicht mit BeispielXVI.2 Für Flächen – Die Keplersche FassregelXVI.2.1 SehnentrapezeXVI.2.2 Tangententrapeze XVI.3 Wo Kepler aufhört, da fängt Simpson an – Die Simpson-Regel
XVII.1 Von natürlich bis reell – Eine kurze Geschichte der ZahlenXVII.2 Komplexe Zahlen – Definition und GrundlagenXVII.3 Rechnen mit komplexen Zahlen IXVII.4 Polarkoordinaten und komplexe ZahlenXVII.5 Euler und eine der schönsten Gleichungen der MathematikXVII.6 Rechnen mit komplexen Zahlen IIXVII.7 Potenzen berechnen und Wurzelziehen bei komplexen ZahlenXVII.8 Bastelstunde: Additionstheoreme
A Die StrahlensätzeA.1 Einführende BetrachtungenA.2 Der 1. StrahlensatzA.3 Der 2. StrahlensatzA.4 „Kurzversion“ des 1. Strahlensatzes
B.1 Ganz elementare RegelnB.2 Beispiele statt allgemeiner Hudelei
C.1 Worum es gehtC.2 Zum Aufstellen des DreiecksC.3 Warum das Schema funktioniert

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Anhang

A Die Strahlensätze

Die Strahlensätze sind eigentlich ein Thema der Unter- oder Mittelstufe. Und gerade weil es schon so lange her ist, dass man ihnen begegnete, ist es oft notwendig, sie sich wieder in Erinnerung zu rufen. Ihnen ein ganzes Kapitel zu widmen wäre übertrieben, aber einen Teil des Anhangs können wir ihnen ruhig zur Verfügung stellen.

A.1 Einführende Betrachtungen

Wir betrachten zwei von einem Punkt Z (wie Zentrum) ausgehende Strahlen. Diese schneiden wir mit zwei parallelen Geraden g und g′ (lies: g Strich, keine Ableitung!). Die Parallelität notieren wir in kurzer Art und Weise mit g ║ g′. Dadurch erhalten wir das folgende Bild:

Abbildung A.1.1: Erste Skizze zu den Strahlensätzen.

Wir erkennen zwei Dreiecke, nämlich ...