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Statistik

by Toni C. Stocker, Ingo Steinke

November 2016

Intermediate to advanced

713 pages

28h 31m

German

De Gruyter Oldenbourg

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1.1 Eingrenzungen des Begriffs „Statistik“1.1.1 Komprimierende Kennwerte1.1.2 Staatswissenschaftliche Disziplin1.1.3 Wahrscheinlichkeitstheoretisch fundierte Datenwissenschaft1.2 Grundzüge statistischer Methoden1.2.1 System und Zufall1.2.2 Irrtums- und Sicherheitswahrscheinlichkeiten1.2.3 Deskription und Induktion1.2.4 Empirischer und theoretischer Kalkül1.3 Teilbereiche, Spezialgebiete und Grundlagen1.3.1 Datengewinnung und Aufbereitung1.3.2 Spezielle Analysemethoden und Instrumente1.3.3 Wissenschaftsspezifische Ausrichtungen1.3.4 Mathematische und technische Grundlagen
2.1 Daten, Datensätze und Variablen2.2 Grundgesamtheit, Merkmalstypen und Skalierungsarten2.3 Empirische Verteilungen und Zusammenhänge
3.1 Tabellarische Darstellungsmöglichkeiten3.1.1 Elementare Begriffe und Notation3.1.2 Häufigkeitstabellen bei Urlisten3.1.3 Häufigkeitstabellen bei klassierten Daten3.2 Grafische Darstellungsmöglichkeiten3.2.1 Kreis-, Säulen- und Balkendiagramme3.2.2 Stamm-Blatt-Diagramme3.2.3 Histogramme (Häufigkeitsdichten)3.2.4 Boxplots3.3 Empirische Verteilungsfunktion (EVF)3.3.1 Häufigkeitsfunktion und EVF bei Urlisten3.3.2 Häufigkeitsdichtefunktion und EVF bei klassierten Daten
4.1 Spezifika empirischer Verteilungen4.2 Lagekennwerte4.2.1 Arithmetisches Mittel4.2.2 Median4.2.3 Modalwert4.2.4 Fechner’sche Lageregeln4.3 Spezielle Lagekennwerte4.3.1 Arithmetisches Mittel bei gruppierten Daten4.3.2 Quantile4.3.3 Geometrisches Mittel4.4 Streuungskennwerte4.4.1 Spannweite4.4.2 Mittlere absolute Abweichungen4.4.3 Median absoluter Abweichungen4.4.4 Varianz, Standardabweichung und Schwankungsintervalle4.5 Spezielle Streuungskennwerte4.5.1 Varianz bei gruppierten Daten4.5.2 Quantilsabstände4.5.3 Variationskoeffizient4.6 Standardisierung mittels Lage und Streuung4.7 Messung von Schiefe4.8 Darstellung und Messung von Konzentration4.8.1 Lorenz-Kurve4.8.2 Gini-Koeffizient4.9 Spezifische Eigenschaften empirischer Kennwerte4.9.1 Minimumeigenschaft des arithmetischen Mittels4.9.2 Minimumeigenschaft des Medians4.9.3 Transformationseigenschaften4.9.4 Robustheit

5.1 Zusammenhänge zwischen kategorialen Merkmalen5.1.1 KontingenztabellenVerteilungen in KontingenztabellenEmpirische Abhängigkeit und UnabhängigkeitKonzeptionelle Vorüberlegungen für ein Zusammenhangsmaß5.1.2 Zusammenhangsmaße für KontingenztabellenChi-Quadrat-KoeffizientMittlere quadratische KontingenzKontingenzkoeffizient nach PearsonTransformationseigenschaften der Zusammenhangsmaße5.1.3 Grafische AnalysemöglichkeitenGestapelte und gruppierte SäulendiagrammeSegmentierte Säulen- und BalkendiagrammeAssoziationsplotsMosaikplotsSpineplots5.2 Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen5.2.1 Grafische AnalysemöglichkeitenStreudiagrammeStreudiagramm-MatrizenHexagonalplots5.2.2 Zusammenhangsmaße für metrische MerkmaleEmpirische KovarianzEmpirischer Korrelationskoeffizient nach PearsonEmpirische Kovarianz- und KorrelationsmatrizenKorrelationskoeffizient nach Spearman5.2.3 Einfache lineare RegressionZweck und allgemeine VorgehensweiseKQ-Methode (L2-Regression)LAD-Methode (L1-Regression)Kritische Punkte und Alternativen5.3 Ergänzende und vertiefende Themen5.3.1 Zusammenhänge in anderen SkalierungsfällenGrafische AnalysemöglichkeitenZusammenhangsmaßeSpezielle Regressionsmodelle5.3.2 Grafische Darstellung höherdimensionaler DatenHöherdimensionale Mosaikplots3D-PunktwolkenBiplots5.3.3 Wichtige Aspekte bei der Analyse empirischer ZusammenhängeEmpirische Zusammenhänge und KausalitätSpezielle Formen von KausalitätSystematische VerzerrungenZufällige Schwankungen
6.1 Wichtige Grundbegriffe und Regeln6.1.1 Interpretation von Zufall und Wahrscheinlichkeiten6.1.2 Elementare Mengenlehre6.1.3 Axiomatischer Wahrscheinlichkeitsbegriff und Regeln6.2 Rechnen mit abhängigen und unabhängigen Ereignissen6.2.1 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Rechenregeln6.2.2 Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen6.2.3 Kalkül nach der Formel von Bayes
7.1 Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen7.1.1 Eindimensionale ZufallsvariablenKonzept und AusblickDiskrete Zufallsvariablen und AdditionskalkülStetige Zufallsvariablen und IntegrationskalkülTheoretische VerteilungsfunktionWahrscheinlichkeitsverteilung7.1.2 Mehrdimensionale ZufallsvariablenKonzept und AusblickZweidimensionale diskrete ZufallsvariablenZweidimensionale stetige ZufallsvariablenStochastische Abhängigkeit und UnabhängigkeitHöherdimensionale Wahrscheinlichkeitsverteilungen7.1.3 Verteilung von Funktionen von ZufallsvariablenFunktionen einer ZufallsvariableFunktionen aus mehreren Zufallsvariablen7.2 Theoretische Kennwerte7.2.1 Kennwerte in Bezug auf Lage und StreuungErwartungswertTheoretische Varianz und StandardabweichungTheoretische Quantile und theoretischer Median7.2.2 Kennwerte in Bezug auf AbhängigkeitenBedingte Erwartungswerte und VarianzenTheoretische Kovarianz und KorrelationTheoretische Regressionskoeffizienten7.2.3 Spezifische Eigenschaften theoretischer KennwerteMinimumeigenschaften von LagekennwertenWichtige TransformationseigenschaftenEndliche und nicht endliche theoretische Momente7.3 Spezielle eindimensionale Verteilungen7.3.1 Spezielle diskrete VerteilungenElementare KombinatorikEinpunktverteilungBernoulli-VerteilungBinomialverteilungPoisson-Verteilung7.3.2 Spezielle stetige VerteilungenStetige GleichverteilungExponentialverteilungNormalverteilung7.4 Verteilung stochastischer Summen und Mittelwerte7.4.1 Exakte AussagenErwartungswerte und VarianzenVerteilungen unter bestimmten Ausgangsverteilungen7.4.2 Asymptotische und approximative AussagenGesetz der großen Zahlen (GGZ)Zentraler Grenzwertsatz (ZGWS)
8.1 Weitere eindimensionale Verteilungen8.1.1 Weitere diskrete Verteilungen8.1.2 Weitere stetige Verteilungen8.1.3 Sonstige eindimensionale Verteilungen8.2 Ergänzungen zu asymptotischen Aussagen8.2.1 Alternative GGZ- und ZGWS-Varianten8.2.2 Stochastische Konvergenz und Verteilungskonvergenz8.3 Einige multivariate Verallgemeinerungen8.3.1 Multivariate AbhängigkeitenAbhängigkeit und Unabhängigkeit von ZufallsvektorenBedingte Abhängigkeit und Unabhängigkeit8.3.2 Kenngrößen multivariater AbhängigkeitenTheoretische Kovarianz- und KorrelationsmatrixBedingte Kennwerte für n > 28.3.3 Sonstige Verallgemeinerungen
9.1 Modellierung und Handhabung von Schätz- und Testproblemen9.2 Was versteht man unter einer Stichprobe?9.3 Formale Unterscheidungsebenen
10.1 Punktschätzung10.1.1 Schätzer und ihre Gütekriterien10.1.2 Erwartungstreue10.1.3 Erwartete quadratische Abweichung (MSE)10.1.4 Konsistenz10.1.5 Effizienz10.2 Intervallschätzung10.2.1 Was versteht man unter einem Konfidenzintervall?10.2.2 Konfidenzintervalle für Erwartungswerte10.2.3 Konfidenzintervalle für Erwartungswertdifferenzen10.2.4 Weitere Konfidenzintervalle10.2.5 Adäquatheit bestimmter Modellannahmen10.3 Schätzmethoden10.3.1 Momentenmethode10.3.2 Maximum-Likelihood-Methode10.3.3 Weitere Schätzmethoden
11.1 Was versteht man unter einem Test?11.1.1 Einführende Beispiele11.1.2 Grundstruktur und Durchführung11.1.3 Zusammenhang zur Intervallschätzung11.2 Wichtige Aspekte beim Testen11.2.1 Hypothesenwahl und Fehlerarten11.2.2 Irrtumswahrscheinlichkeiten und Güte11.2.3 p-Werte11.2.4 Signifikanz vs. Relevanz11.3 Ausgewählte Testverfahren11.3.1 Tests über Erwartungswerte11.3.2 Tests über Erwartungswertdifferenzen11.3.3 Nichtparametrische χ2-TestsAllgemeiner Überblickχ2-Anpassungstestχ2-Unabhängigkeitstest11.3.4 Weitere TestsTests über AnteilswerteTests auf Unkorreliertheit und UnabhängigkeitSonstige Tests und Testmethoden11.3.5 Allgemein zu beachtende Punkte
12.1 Einfaches lineares Regressionsmodell12.1.1 Grundmodell und KQ-MethodeStatistisches GrundmodellHerleitung der KQ-SchätzerEigenschaften der empirischen KQ-RegressionBestimmtheitsmaß und Standardfehler der Regression12.1.2 Modellannahmen und theoretische KQ-RegressionEnsembles von ModellannahmenTheoretische KQ-Regression12.1.3 Verteilungstheoretische GrundlagenVerteilungen der KQ-SchätzerKonsistenz und Effizienz der KQ-SchätzerSchätzung der Varianzen der KQ-SchätzerVerteilungen der Inferenzstatistiken12.1.4 Schätzen und TestenKonfidenzintervalle und TestsSpezialfall: Binärer RegressorAdäquatheit bestimmter ModellannahmenFallbeispiel 1: Bewässerung und WachstumFallbeispiel 2: Klassengröße und Lernerfolg12.2 Einführung in das multiple lineare Regressionsmodell12.2.1 Partielle lineare KQ-RegressionEmpirische partielle RegressionTheoretische partielle RegressionVerbindung von Empirie und Theorie12.2.2 Multiple lineare KQ-RegressionEmpirische multiple RegressionTheoretische multiple RegressionVerbindung von Empirie und TheorieStatistische Modelle und Inferenz12.2.3 FallbeispieleFallbeispiel 2 fortgesetzt: Determinanten des LernerfolgsFallbeispiel 3: Gewicht und GeschlechtFallbeispiel 4: Binäre Regressoren und ANOVA-Modelle

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Kapitel 10: Statistisches Schätzen

Die beiden grundlegenden Techniken beim statistischen Schätzen sind die Punktschätzung und die Intervallschätzung, die jeweils separat in den Abschnit- ten 10.1 und 10.2 besprochen werden. Dabei stellt sich auch die Frage nach allgemeinen Schätzmethoden, die unabhängig von der Komplexität eines statistischen Modells zu sinnvollen Schätzergebnissen führen. Mit diesem Thema befasst sich der letzte Abschnitt 10.3.

10.1Punktschätzung

Bei einer Punktschätzung wird ein unbekannter Kennwert einer Grundgesamtheit mithilfe eines Schätzers quantifiziert. Dabei lassen sich Schätzer hinsichtlich unter- schiedlicher Gütekriterien bewerten und miteinander vergleichen. Ein erwartungs treuer Schätzer liefert „im Mittel“ den ...