AIがわかる数学入門 ―グラフ理論、特異値分解、OR：AIシステムを理解するための数学ガイド

6章特異値分解：画像処理、自然言語処理、ソーシャルメディア

必要不可欠なものだけを見せてくれ。

－ H.

特異値分解は線形代数の数学的操作であり、データサイエンス、機械学習、AIの分野で広く応用されています。これは、データ分析における主成分分析や、自然言語処理における潜在意味解析の背後にある数学です。この操作は密行列を対角行列に変換します。線形代数において、対角行列は非常に特殊で好ましい行列です。対角行列は、掛け算したときにスカラーのように振る舞い、特定の方向にのみ伸縮だけを意味します。

行列の特異値分解を計算すると、行列が空間そのものに及ぼす作用（回転、鏡映、伸張、圧縮など）を明らかにし、定量化するという追加の利点があります。この演算は線形であるため（線形代数と呼ばれる所以でもある）、空間の歪み（曲げ）はありません。ある方向に極端に伸縮することは、行列を含む計算の安定性に影響するため、その指標を持つことで、例えばノイズの多い測定値など、さまざまな微小な変化に対する計算の感度を直接コントロールすることができます。

特異値分解の強みは、任意の行列に適用できることです。そのため、AIの分野で広く使われていることから、本書では独立した章を設けました。以下の節では、細部よりも全体像に焦点を当て、画像処理、自然言語処理、ソーシャルメディアへの応用に焦点を当てながら、特異値分解を探求します。

行列（画像やデータ行列など）について、その特異値分解の計算手順の詳細はここでは省略します。ほとんどの線形代数の教科書では、対称行列 ...