Álgebra lineal práctica para la ciencia de datos

Capítulo 14. Descomposición en valores singulares

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¡El capítulo anterior era realmente denso! He hecho todo lo posible por hacerlo comprensible y riguroso, sin empantanarme demasiado en detalles que tienen menos relevancia para la ciencia de datos.

Afortunadamente, la mayor parte de lo que aprendiste sobre la eigendecomposición se aplica a la SVD. Eso significa que este capítulo será más fácil y breve.

El propósito de la SVD es descomponer una matriz en el producto de tres matrices, llamadas vectores singulares izquierdos ($𝐔$), los valores singulares ($\mathbf{\Sigma }$) y los vectores singulares derechos ($𝐕$):

$$\mathbf{A}=\mathbf{U}\mathbf{\Sigma }{\mathbf{V}}^{\text{T}}$$

Esta descomposición debería parecerse a la eigendecomposición. De hecho, puedes pensar en la SVD como una generalización de la eigendecomposición para matrices no cuadradas, o puedes pensar en la eigendecomposición como un caso especial de la SVD para matrices cuadradas.¹

Los valores singulares son comparables a los valores propios, mientras que las matrices de vectores singulares son comparables a los vectores propios (estos dos conjuntos de magnitudes son iguales en algunas circunstancias que explicaré más adelante).

Panorama general de la SVD

Quiero presentarte la idea y la interpretación de las matrices, y más adelante en el capítulo te explicaré cómo calcular la SVD.

La Figura 14-1 muestra la visión general de la SVD.

Figura 14-1. La gran imagen ...