Álgebra linear prática para a ciência dos dados

Capítulo 14. Decomposição de valor singular

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O capítulo anterior era muito denso! Tentei fazer o meu melhor para o tornar compreensível e rigoroso, sem me prender demasiado a pormenores que têm menos relevância para a ciência dos dados.

Felizmente, a maior parte do que aprendeste sobre a eigendecomposição aplica-se à SVD. Isso significa que este capítulo será mais fácil e mais curto.

O objetivo da SVD é decompor uma matriz no produto de três matrizes, denominadas vectores singulares à esquerda ($𝐔$), os valores singulares ($\mathbf{\Sigma }$), e os vectores singulares direitos ($𝐕$):

$$\mathbf{A}=\mathbf{U}\mathbf{\Sigma }{\mathbf{V}}^{\text{T}}$$

Esta decomposição deve ser semelhante à eigendecomposição. Na verdade, podes pensar na SVD como uma generalização da eigendecomposição para matrizes não quadradas - ou podes pensar na eigendecomposição como um caso especial da SVD para matrizes quadradas.¹

Os valores singulares são comparáveis aos valores próprios, enquanto as matrizes de vectores singulares são comparáveis aos vectores próprios (estes dois conjuntos de quantidades são iguais em algumas circunstâncias que explicarei mais tarde).

O quadro geral da SVD

Quero apresentar-te a ideia e a interpretação das matrizes e, mais à frente no capítulo, explicar-te-ei como calcular a SVD.

A Figura 14-1 mostra a visão geral da SVD.

Figura 14-1. A imagem geral da SVD

Muitas caraterísticas importantes da SVD são visíveis neste ...