Mathematical Formulas for Industrial and Mechanical Engineering

p 5 c 2 ð1=3Þb

2

and q 5 d 2 ð1=3Þbc 1 ð2=27Þb

3

. The three roots of reduced

cubic are

y

1

5

ffiffiffi

A

3

p

1

ffiffiffiffi

B

3

p

y

2

5 C

ffiffiffi

A

3

p

1 C

2

ffiffiffiffi

B

3

p

y

3

5 C

2

ffiffiffi

A

3

p

1 C

ffiffiffiffi

B

3

p

where

A 52

1

2

q 1

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

ð1=27Þp

3

1 ð1=4Þq

2

p

B 52

1

2

q 2

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

ð1=27Þp

3

1 ð1=4Þq

2

p

C 5

21 1 i

ffiffiffi

3

p

2

; i

2

521

Then the solutions in terms of x:

x

1

5 y

1

2 ð1=3Þb

x

2

5 y

2

2 ð1=3Þb

x

3

5 y

3

2 ð1=3Þb

Quartic equation: x

4

1 ax

3

1 bx

2

1 cx 1 d 5 0

Let y

1

be a real root of the cubic equation: y

3

2 bx

2

1 ðac 2 4dÞy 1

ð4bd 2 c

2

2 a

2

dÞ5 0; then the solutions of the quartic equation are the roots of

z

2

1 0:5 a 6

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

a

2

2 4b 1 4y

1

p



z 1 0:5 y

1

6

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

y

1

2

2