
Collecting terms and solving for Y(s) give
Y(s) ¼
b
2
s
2
þ b
1
s þ b
0
s
2
þ a
1
s þ a
0
U(s)
b
2
u(0)s þb
2
_
u(0) þ b
1
u(0)
s
2
þ a
1
s þ a
0
|fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl}
terms involving input u(t)
þ
y(0)s þ
_
y(0) þ a
1
y(0)
s
2
þ a
1
s þ a
0
|fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl}
term involving initial state, [y(0), _y(0)]
T
(4:61)
The complete response y(t) consists of two components. The first,
y
zs
(t) ¼L
1
b
2
s
2
þ b
1
s þ b
0
s
2
þ a
1
s þ a
0
U(s)
b
2
u(0)s þ b
2
_
u(0) þ b
1
u(0)
s
2
þ a
1
s þ a
0
(4:62)
is called the zero-state response, so named because it represents the system’s response when the
initial state is zero,